10 класс. Алгебра. Производная. Планиметрические задачи на экстремум. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед.

1. Задача 1 на прямоугольный параллелепипед

Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды, ос­но­ва­ния ко­то­рых квад­ра­ты, а каж­дая из бо­ко­вых гра­ней имеет пе­ри­метр . Найти среди них па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­боль­шим объ­е­мом и вы­чис­лить его объем.

Нам важны три из­ме­ре­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Так как в ос­но­ва­нии лежит квад­рат, то его сто­ро­ны обо­зна­чим через , тре­тье из­ме­ре­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да обо­зна­чим через (см. рис. 1).

Объем лю­бо­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да – это про­из­ве­де­ние трех его из­ме­ре­ний. Надо найти такой па­рал­ле­ле­пи­пед, чтобы его объем был мак­си­маль­ным (смот­рим пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед фор­му­лы), то есть

. Между и есть связь. Ска­за­но, что или . За­ме­тим, что , .

Мы бы могли ре­шить эту за­да­чу, если бы функ­ция за­ви­се­ла от одной пе­ре­мен­ной, а она за­ви­сит от двух пе­ре­мен­ных и . Одну из них можно вы­ра­зить через связь . От­сю­да . Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в функ­цию: . Те­перь за­да­чу можно све­сти к ти­по­вой за­да­че: найти на от­рез­ке .

До­ста­точ­но срав­нить зна­че­ние функ­ции на кон­цах от­рез­ка и в тех кри­ти­че­ских точ­ках, ко­то­рые по­па­да­ют на дан­ный от­ре­зок. Про­де­мон­стри­ру­ем, что точка - точка мак­си­му­ма. Для этого про­ана­ли­зи­ру­ем знак про­из­вод­ной (см. рис.2).

Най­дем зна­че­ние функ­ции в точ­ках:

Если , тогда . Най­дем объем .

Итак, мы ис­ка­ли такой пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат, и пе­ри­метр бо­ко­вой грани равен 6. Нужно было среди всех таких па­рал­ле­ле­пи­пе­дов найти тот па­рал­ле­ле­пи­пед, ко­то­рый имеет наи­боль­ший объем. Мы свели за­да­чу к ал­геб­ра­и­че­ской, то есть к за­да­че по на­хож­де­нию наи­боль­ше­го зна­че­ния функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке. По­лу­чи­ли ответ: па­рал­ле­ле­пи­пед имеет из­ме­ре­ния . А наи­боль­ший объем .

2. Задача 2 на прямоугольный параллелепипед

Так как в ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да – квад­рат, то одна его сто­ро­на равна и вто­рая – , бо­ко­вое ребро – (см. рис.3). Из­вест­но, что объем этих па­рал­ле­ле­пи­пе­дов - . Надо найти па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­мень­шим пе­ри­мет­ром бо­ко­вой грани. Пе­ри­метр бо­ко­вой грани равен . Этот пе­ри­метр дол­жен быть наи­мень­шим: . Итак, нужно ми­ни­ми­зи­ро­вать дан­ную функ­цию, ко­то­рая за­ви­сит от двух пе­ре­мен­ных и . Эти пе­ре­мен­ные свя­за­ны гео­мет­ри­че­ской за­ви­си­мо­стью . Вы­ра­зим , тогда .

Таким об­ра­зом, точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма. На­пом­ним, мы долж­ны найти такую точку, при ко­то­рой пе­ри­метр будет наи­мень­шим. Вы­яс­ни­ли, что на всем про­ме­жут­ке зна­че­ние функ­ции в точке яв­ля­ет­ся наи­мень­шим, так как на про­ме­жут­ке функ­ция убы­ва­ет, а на про­ме­жут­ке – воз­рас­та­ет. Точка экс­тре­му­ма на про­ме­жут­ке - един­ствен­ная.

Итак, тре­бо­ва­лось найти такой па­рал­ле­ле­пи­пед, у ко­то­ро­го наи­мень­ший пе­ри­метр бо­ко­вой грани и вы­чис­лить этот пе­ри­метр. Па­рал­ле­ле­пи­пед нашли, он имеет из­ме­ре­ния . Наи­мень­шее зна­че­ние пе­ри­мет­ра бо­ко­вой грани равно .

3. Итог урока "Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед, формулы"

Итак, мы рас­смот­ре­ли сте­рео­мет­ри­че­ские за­да­чи на экс­тре­мум, ко­то­рые ре­ша­ют­ся с по­мо­щью про­из­вод­ной. Ре­ши­ли две вза­им­но об­рат­ные за­да­чи на пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед с ис­поль­зо­ва­ни­ем фор­мул и бо­ко­вых сто­рон па­рал­ле­ле­пи­пе­да. В пер­вой за­да­че нужно было найти мак­си­маль­ное зна­че­ние объ­е­ма, а во вто­рой – наи­мень­шее зна­че­ние пе­ри­мет­ра в пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де. Эти за­да­чи, как и в пла­ни­мет­рии, ре­ша­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: со­став­ля­ет­ся нуж­ная функ­ция, она ока­зы­ва­ет­ся функ­ци­ей двух пе­ре­мен­ных, вы­пи­сы­ва­ют­ся гео­мет­ри­че­ские связи, они поз­во­ля­ют вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через дру­гую и по­лу­чить функ­цию толь­ко от одной пе­ре­мен­ной. Даль­ше при­ме­няя про­из­вод­ную, можно успеш­но ре­шить за­да­чу.