Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №2
Мороженое “Мороз” стоит \(50\) рублей. В магазине действует акция: каждое третье мороженое со скидкой \(20\%\) . Семеро друзей пришли в этот магазин за мороженым. Сколько рублей в сумме они должны будут отдать за мороженое?
Каждое третье мороженое стоит \((1 - 0,2)\cdot 50 = 40\) рублей. Семь друзей получат \(2\) мороженых со скидкой, тогда в сумме им придётся отдать \(5\cdot 50 + 2\cdot 40 = 330\) рублей.
На рисунке жирными точками показана средняя температура за день в городе Кирове со \(2\) по \(15\) марта. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – средняя температура в соответствующий день, в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в период со \(2\) по \(15\) марта средняя температура за день впервые опустилась до \(0,5\) градусов Цельсия?
По рисунку видно, что средняя температура впервые опустилась до \(0,5\) градусов Цельсия \(11\) числа.
В ромбе \(ABCD\) : \(\angle ACD = 26^\) . Найдите \(\angle ABD\) . Ответ дайте в градусах.
В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда \(\angle CDB = 90^ - \angle ACD = 64^\) .
\(BC = CD\) , тогда \(\angle CBD = \angle CDB = 64^\) .
Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то \(\angle ABD = \angle CBD = 64^\) .
В тарелке лежат \(9\) яблок, \(3\) апельсина, \(2\) граната и \(6\) груш. Костя берет фрукты из тарелки наугад. Какова вероятность того, что первый взятый им фрукт окажется грушей или апельсином?
Так как вероятности выбора любого фрукта из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества груш и апельсинов к общему количеству фруктов в тарелке.
Вероятность того, что наугад выбранный фрукт окажется грушей или апельсином равна \[\dfrac = 0,45.\]
Найдите корень уравнения \(\dfrac = 7\) .
ОДЗ: \(x \neq -10\) . Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 12,5\) – подходит по ОДЗ.
Хорды окружности \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) , причём \(CE = AE\) . Градусная мера дуги \(AC\) равна \(120^\) , градусная мера дуги \(CAD\) равна \(210^\) . Найдите градусную меру дуги \(BD\) . Ответ дайте в градусах.
Градусная мера дуги \(DA\) равна \(210^ - 120^ = 90^\) .Соединим \(CA\) .
Треугольник \(AEC\) – равнобедренный, тогда \(\angle DCA = \angle BAC\) , тогда дуги, на которые опираются эти вписанные углы, равны, следовательно градусная мера дуги \(BC\) равна \(90^\) .
Градусная мера дуги \(BD\) равна \(360^ - 120^ - 90^ - 90^ = 60^\) .
На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-0,5; 4,3)\) . Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.
Для функции \(f(x)\) , у которой производная в точке \(x_0\) существует, \(f'(x_0) > 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) возрастает в \(x_0\) .
На интервале \((-0,5; 4,3)\) целыми являются точки \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) . Среди этих точек \(f(x)\) возрастает только в \(1\) , \(2\) и \(4\) . Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) положительна в \(3\) целых точках.
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – четырехугольная призма с основаниями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) . Точка \(K\) – проекция точки \(A_1\) на плоскость \((ABC)\) , \(K\) лежит на \(AD\) , причём \(AK : KD = 1 : 3\) . \(ABCD\) – параллелограмм со сторонами \(AD = a\) , \(AB = 2a\) , \(\angle BAD = 60^\) , \(A_1A = 1,75a\) . Найдите \(\dfrac\) , где \(V\) – объем призмы.
\[V_ = S_\cdot h,\qquad\qquad S_ = AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD = 2a\cdot a\cdot\dfrac = a^2\sqrt.\] По теореме Пифагора: \[A_1K^2 = AA_1^2 - AK^2 = \dfraca^2 - \dfraca^2 = 3a^2\qquad\Rightarrow\qquad A_1K = a\sqrt.\] Таким образом, \[V_ = a^2\sqrt\cdot a\sqrt = 3a^3\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac = 3.\]
Найдите значение выражения \(16^\) .
Таня бросила камень вниз с обрыва. Она может приближенно рассчитать высоту над уровнем моря (в метрах), на которой находился камень в момент времени \(t\) секунд ( \(t\) отсчитывается с момента броска) по формуле \(h = 1000 - 20t - 5t^2\) . Какое по ее подсчетам наибольшее время после броска камень находился на высоте не менее, чем \(520\) метров над уровнем моря, если она не ошиблась? Ответ дайте в секундах.
Время \(t\) , в течение которого камень находился на высоте не менее, чем \(520\) метров, удовлетворяет неравенству \[1000 - 20t - 5t^2 \geqslant 520\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 + 4t - 96 \leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 + 4t - 96 = 0\) : \[t_1 = 8, \qquad\qquad t_2 = -12,\] тогда:
то есть наибольшее время, в течение которого камень находился на высоте не менее, чем \(520\) метров, равно \(8\) секунд.
Города M и N находятся возле реки на расстоянии \(60\, км\) . Из M в N отправился катер, который прибыл в город N и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в М, плот, который отправился из M в N на час раньше катера, проплыл \(13\, км\) . Скорость течения реки равна \(2\, км/ч\) . Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.
Плот проплыл 13 км за \(13 : 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 - 1 = 5,5\) часов.
Пусть \(v\, км/ч\) – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\) , тогда
\(\dfrac\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),
\(\dfrac\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.
Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно \(5,5\) часов, то: \[\dfrac + \dfrac = 5,5\qquad\Leftrightarrow\qquad 11v^2 - 240v - 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\) , откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac\) . Так как \(v > 0\) , то ответ \(22\, км/ч\) .
Найдите точку минимума функции
\(y = \log_(x^2 - 10x + 201)\) .
ОДЗ: \(x^2 - 10x + 201 > 0\) . Решим на ОДЗ:
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac\cdot\dfrac = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x - 10 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим \(x = 5\) . Так как \(x^2 - 10x + 201 = x^2 - 10x + 25 + 176 = (x-5)^2 + 176 > 0\) , то производная определена для любого \(x\) . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) :
3) Эскиз графика \(y\) :
Таким образом, \(x = 5\) – точка минимума функции \(y\) .
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((\pi; 2\pi)\) .
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и перенесём всё влево:
\[\begin 1 - 2\sin^2 x + 3\sqrt\sin x - 3 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 2\sin^2 x - 3\sqrt\sin x + 2 = 0. \end\]
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\) .
Сделаем замену \(\sin x = t\) , тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 3\sqrt t + 2 = 0.\] Его дискриминант \(D = 18 - 16 = 2\) , тогда \(t_ = \dfrac\) , откуда \(t_1 = \sqrt\) , \(t_2 = \dfrac\) , следовательно, \(\sin x = \sqrt\) или \(\sin x = \dfrac\) .
Так как \(\sin x\leqslant 1\) , то \(\sin x = \sqrt\) быть не может, следовательно, \(\sin x = \dfrac\) .
Уравнение \(\sin x = a\) имеет решения \(x = \mathrm\, a + 2\pi k\) , \(x = \pi - \mathrm\, a + 2\pi k\) , где \(k\in\mathbb\) , следовательно уравнение \(\sin x = \dfrac\) имеет решения \(x = \dfrac + 2\pi k\) , \(x = \dfrac + 2\pi k\) , где \(k\in\mathbb\) .
б) \[\pi < \dfrac + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac < 2\pi k < \dfrac\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac < k < \dfrac,\] но \(k\in\mathbb\) , следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку \((\pi; 2\pi)\) .
\[\pi < \dfrac + 2\pi k < 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac < 2\pi k < \dfrac\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac < k < \dfrac,\] но \(k\in\mathbb\) , следовательно, среди этих решений нет принадлежащих промежутку \((\pi; 2\pi)\) .
а) \(\dfrac + 2\pi k\) , \(\dfrac + 2\pi k\) , где \(k\in\mathbb\) .