Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Р ассмотрим пример (рис. 43, а). Пусть дана плоскость Р, заданная треугольникомАВС и фронтальная проекция прямой l, проходящая через произвольную точку К. Требуется через точку К провести горизонтальную проекцию прямой l параллельную плоскости Р.

Для того, чтобы через точку К провести прямую параллельную плоскости Р(АВС), необходимо построить прямую проходящую через точку К и параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости Р (рис. 43, б). Проведём прямую m, принадлежащую плоскости Р(АВС) и параллельную прямой l. На эпюре уже задана фронтальная проекция l2 прямой l, поэтому проведем m2 || l2, найдем проекции точек 12 и 22 на сторонах треугольника В2С2 и А2С2, затем спроецируем их на горизонтальную плоскость и проведем горизонтальную проекцию m1 прямой m. Через К1 проведем l1 || m1. Прямая l || Р(АВС), т. к. она параллельна прямой m, принадлежащей плоскости Р.

П рямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости (рис. 44, а).

На эпюре (рис. 44, б) для удобства построения в качестве пересекающихся прямых следует брать горизонталь и фронталь (или горизонтальный и фронтальный следы плоскости), т.к. прямой угол между отрезком прямой и горизонталью проецируется в натуральную величину на П1 (то же между горизонтальным следом и отрезком прямой), а прямой угол между отрезком прямой и фронталью проецируется в натуральную величину на П2 (то же между фронтальным следом и отрезком прямой).

Рассмотрим пример (рис. 45). Требуется провести через точку А перпендикуляр к плоскости Р, заданной треугольником АВС.

И звестно, что фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная – к горизонтальной проекции горизонтали плоскости. На чертеже черезА2 проводим фронтальную проекцию l2 перпендикуляра l перпендикулярно к фронтальной проекции f2 фронтали, а горизонтальную его проекцию l1 – перпендикулярно к проекции h1 горизонтали через А1. Фронталь и горизонталь в плоскости строится, как это рассмотрено на рис.45.

Плоскости могут располагаться параллельно, пересекаться и в частном случае пересекаться под прямым углом.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Р ассмотрим пример. Пусть дана плоскостьР, заданная треугольником АВС и произвольная точка К. Требуется через точку К провести плоскость Г параллельную Р (АВС). Для того чтобы через точку К провести плоскость параллельную плоскости Р (АВС), достаточно построить две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости Р, так чтобы точка К принадлежала этим прямым. Например, проведём прямую m || AB, на эпюре m1 || А1B1 и m2 || А2B2 и прямую l || BC, на эпюре l1 || B1C1 и l2 || B2C2. Две пересекающиеся прямые m и l определяют плоскость Г. Плоскость Г || Р, так как две пересекающиеся прямые m и l, принадлежащие плоскости Г, параллельны двум пересекающимся прямым АВ и ВС, принадлежащим плоскости Р.

На рис. 46 показано построение параллельных плоскостей, заданных следами. Как известно, горизонтали параллельных плоскостей параллельны между собой, параллельны между собой и фронтали. Также одноименные следы параллельных плоскостей соответственно параллельны между собой. Необходимо через точку К провести плоскость Г || Р (рис. 46, а). Через точку К проводят горизонталь искомой плоскости – h1 || PП1, h2 || х. Затем находят фронтальный след горизонтали F2 и через него параллельно фронтальному следу плоскости PП2 проводят фронтальный след искомой плоскости ГП2, находят точку схода следов ГХ на оси х и проводят след ГП1 параллельно PП1 (рис. 46, б).

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из плоскостей содержит прямую перпендикулярную второй плоскости.

Е сли прямаяl перпендикулярна плоскости P, то любая плоскость, проведенная через эту прямую, будет также перпендикулярна плоскости P. Поэтому через прямую l можно провести бесконечное множество плоскостей, что приводит к вариативности решения задач (рис. 47).

Рассмотрим два случая построения прямой перпендикулярной плоскости (на рис. 48, а – б плоскость задана следами, на рис. 48, в – треугольником). Исходя из выше рассмотренных построений (рис. 44), сначала необходимо в плоскости построить горизонталь и фронталь. Затем провести прямую l, перпендикулярную заданным плоскостям. На рис. 1, бlP,l1PП1,l1 h1иl2PП2,l2 f2. На рис. 48, в прямаяlпроведена перпендикулярно плоскости треугольникаАВСчерез точкуА(lАВС,l1 h1иl2 f2). Условие перпендикулярности выполнено, и теперь необходимо задать плоскость любым из известных способов. На рис. 48 плоскость задана пересекающимися прямымиl∩m=К. ТочкаКна прямойlвзята произвольно. Одна из прямых плоскости – перпендикулярl, поэтому вторую прямуюmможно провести под любым углом.

Так как через току Кможно провести множество прямых, то решение задачи может иметь множество вариантов (рис. 48, а).