Формулы сокращенного умножения (ЕГЭ 2022)

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

С их помощью ты сможешь упростить выражение, привести многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных)

Ты сможешь легко в уме находить квадраты больших чисел и, например, быстро проверить свои расчеты на экзамене.

Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач!

В общем их стоит выучить. Начнем?

Формулы сокращенного умножения — коротко о главном

Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители.

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно, потому что эти формулы позволяют сократить время на умножение. Вот смотри…

Возьмем самую простую первую формулу квадрата суммы \( \) — и попробуем возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить \( \left( a+b \right)\) само на себя:

Приведи подобные слагаемые и ты получишь формулу сокращенного умножения квадрат суммы:

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения.

Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности?

Куб суммы означает, что необходимо \( \left( a+b \right)\) само умножить на себя три раза:

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Квадрат разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности означает умножить \( \left( a-b \right)\) само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.

Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:

Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:

Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?

Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между \( a\) и \( b\), то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем.

При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел \( a\) и \( b\)!

Это грубейшая и самая распространенная ошибка!

Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

\( \);
\( \);
\( \).

Ответы:

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Посчитай самостоятельно выражения:

\( \);
\( \);
\( \).

Ответы:

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

Допустим, у нас есть следующее выражение:

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа \( +\) квадрат другого числа и \( \pm \) удвоенное произведение этих чисел.

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это \( 9\). Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку \( \) , — это квадратный корень из \( 9\), то есть

Так как во втором слагаемом есть \( b\), значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

\( 24b=2\cdot 3b\cdot x\), где \( \displaystyle x\) – второе число, входящее в нашу скобку.

\( x=\frac=4\). Второе число, входящее в скобку, равно \( \displaystyle 4\).

Проверим. \( \displaystyle 16\) должно быть равно \( \). Действительно, так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: \( 4\) и \( 3b\). Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между \( a\) и \( b\)).

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле.

Посмотри на это выражение: \( 12b+9+4\). Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎