Задачи для самостоятельного решения. Упростить выражения

Занятия №1-3 . Алгебраические выражения. Преобразование выражений.

Преобразования выражений с модулем:

№ 1. Упростить выражение .

Дробь определена для любых значений а .

При а a | 2 = а 2 , имеем:

= | a | – 2. О т в е т: а – 2 при а ≥ 0, –( а + 2) при а Упростить выражение .

Дробь определена при а ≠1. Нули подмодульных выражений: 0; 1. Данные точки делят числовую ось на интервалы (–∞; 0); [0; 1); [1; +∞).

Упростим дробь на каждом из интервалов:

О т в е т: при а а при 0 ≤ а а – 1 при а > 1.

№ 3. Упростить выражение:

О т в е т: при т (–∞; –2) U (–2; 0) U [3; +∞); – при т U (0; 3).

4. Доказать, что данное выражение – целое число .

Задачи для самостоятельного решения.

№ 18. Доказать, что данное выражение – целое число.

а – 2 при а ≥ 0, –( а + 2) при а х ≤ 0; при 0 х х > 1.

при а а при 0 ≤ а а – 1 при а > 1.

при т  (–∞; –2) U (–2; 0) U(3; +∞);

при х  (–∞; –1) U (0; 1);

1 при х х [–1; 0)U(0; 1);

х 2 – 4 х – 12 при х х + 2) 2 при х > 2.

б) а – 2 при а ≥ 0; –( а + 2) при а а а при 0 ≤ а а – 1 при а > 1.

Вычислите алгебраическую сумму .

Найти значение выражения при . 1) –20; 2) 20; 3) 24; 4) 22; 5) другой ответ

Упростите выражение при .

Найдите число, 80% которого равны .

Часть В

Найдите коэффициент при после преобразования к многочлену стандартного вида .

Вычислите значение выражение , если известно, что , .

Известно, что и , . Найдите значение выражения .

Упростите выражение и найдите числовое значение при , , , .

Найти значение выражения при . 1) 10; 2) 12; 3) 16; 4) 9; 5) другой ответ

Найти значение выражения при . 1) 24; 2) 32; 3) 28; 4) 36; 5) другой ответ

Упростить и вычислить при : .

Найти значение выражения при. и . 1) 12; 2) 16; 3) 8; 4) 9; 5) другой ответ

Избавиться от иррациональности в знаменателе .

Разность является целым числом. Найдите это число.

Найдите значение выражения при .

Найдите значение выражения при ; .

Найдите значение выражения при .

Вычислите значение выражения при .

При каких действительных имеет место равенство .

Часть С

Доказать, что число является составным .

Делится ли многочлен на ?

При каких значениях a и b многочлен делится без остатка на ?

Определите значение выражения при .

Упростить и вычислить при :

Разложить на множители .

Найти наименьшее значение выражения .

Найти наибольшее значение выражения .

Найти наименьшее значение выражения , если .

Переменные и положительны, при этом . Найдите наименьшее значение выражение суммы .

При каком значение выражение имеет наибольшее значение.

Вычислить при , следующую сумму .

Пусть и . Известно также, что ; ; ,… Чему равно , если .

Упростите и вычислить при .

Варианты работ по теме:

“Корень n-ой степени и его свойства”

Вариант I. (Не более 15 минут).

1.Найдите значение выражения:

1) равны 2) первое больше второго 3) второе больше первого 4) –

4-5 верных ответов

Переходите к варианту 2

2-3 верных ответов

Проверьте себя на похожем варианте 3

0-1 верных ответов

Разберите решение В1, после чего переходите к В3

5. 3) второе больше первого

Вариант 2 (не более 50 минут).

6. Найдите значение числового выражения:

7. Найдите значение числового выражения:

8. Сократите дробь:

9. Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:

10. Упростить выражение:

11. Найдите значение числового выражения:

12. Найдите значение числового выражения:

13. Докажите, что число А- целое, если:

14. упростите выражение:

15. Найдите значение выражения:

8-10 верных ответов

Переходите к варианту 5

5-7 верных ответов

Проверьте себя на похожем варианте 4

0-4 верных ответов

Вам следует вернуться к параграфу 9 учебника под редакцией Колмогорова и к номерам: 390-394, 406, 407, 409, 415, 416, а так же стр. 261-262, номера 1, 2, 3

6) -27 7) -7 8) 9) 10) 11) 1

12) -6 13) А=4 14) 2, a>0, b>0, a b 15) 14

Вариант 3 (не более 15 минут)

1) 100 2) 91 3) 8.9 4) 4

17. Упростите выражение:

18. Найдите значение выражения:

20. Найдите значение выражения:

3-5 верных ответов

Переходите к варианту 4

0-2 верных ответов

Вернитесь к номерам учебника: 383, 384, 389, 392, 393, 394, 403, 402, 408, 409, 416

Вариант 4 (не более 50 минут)

21. Найдите значение числового выражения:

22. Найдите значение числового выражения:

23. Сократите дробь:

24. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

25. Упростить выражение:

26. Найдите значение числового выражения:

27. Найдите значение числового выражения:

28. Докажите, что число А- целое, если:

30. Найдите значение выражения:

8-10 верных ответов

У вас все нормально. Проанализируйте ошибки, переходите к заключительному варианту 5.

5-7 верных ответов

Ваши знания не стабильны. Для контроля решите номера: 402, 403, 406, 408, 390-395, 415, 416. Если результат будет хорошим, переходите к варианту 5.

0-4 верных ответов

Положение не удовлетворительно. Решите все предложенные номера из учебника. Повторите выполнение вариантов 1-4.

Вариант 5 (15 минут).

В таблице ответов под номером задания (31-35) поставьте знак “Х” в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

31. Найдите значение выражения:

1) 9.1 2) 2.9 3) 89.9 4) 8.9

35. Упростите выражение:

Примеры заданий ЕГЭ (части I и II) по

теме: “Корень n-ой степени и его свойства”для проведения

1) 1 2) 3 3) 0,3 4) 1,5

1) 42 2) 14 3) 63 4) 3

6. Найдите число равное разности

Найдите значение выражения

1) 3 2) 1 3) 3 4) 3 5) 4 6) -8 7) -0,2 8) 6

Решение варианта 2.

12. Выражение отрицательно, так как

Возведем в квадрат:

13. Решение: При возведении А в куб воспользуемся формулой , откуда

Занятие 4-6 Методы решения нелинейных систем уравнений

Цель: Образовательные : Сформировать умение решать системы уравнений с двумя переменными различными способами:

метод алгебраического сложения

метод разложения на множители

метод замены переменных

метод линейных преобразований

Графический метод решения систем уравнений

Развивающие : Развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности; развивать познавательный интерес, культуру речи, любознательность.

Воспитательные : Воспитать дисциплинированность, ответственность, настойчивость в учебе.

Средства обучения : компьютер, мультипроектор.

1. Однородные системы

Многочлен Р (х, у) называют однородным многочленом n-ой степени, если P(tx.ty) = t n P(x, y).

Например, многочлен Р(х,у) = 2х 3 + 3х 2 у + 4у 3 является однородным многочленом третьей степени, Р(х,у) = 2х 2 + 3ху + 4у 2 является однородным многочленом второй степени.

Система уравнений, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

1.Решить систему уравнений.

1 ). 2х 2 + 3ху + у 2 = 3, *5 10х 2 + 15ху + 5у 2 = 15, сложим полученные уравнения

х 2 + 2ху – 5у 2 = -5.*3 3х 2 + 6ху – 15у 2 = -15.

13х 2 + 21ху – 10у 2 = 0

Разделим на у 2 (пара х = 0, у = 0 не является решением системы), получим

Пусть = t, тогда 13t 2 + 21t – 10 = 0, откуда t 1,2 = -2,

Значит х 1 = -2у, х 2 = у.

8у 2 – 6у 2 + у 2 = 3 у 2 + у 2 + у 2 = 3

у = ± 1, х = ±2 у 2 = х 2 =

Ответ: у = ± 1, х = ±2. у = , х = .

Самостоятельно, с последующей проверкой

2 ). х 3 – у 3 = 7, (х – у)(х 2 + ху + у 2 ) = 7, Разделим одно уравнение на другое,

х 2 у – ху 2 = 2. (х – у)ху = 2.

Пусть = t, тогда 2t 2 - 5t + 2 = 0, откуда t 1,2 = 2;

х = -1, у = -2. х = 2, у = 1 . Ответ: (-1; -2), (2; 1).

2 . Симметрические системы.

Симметрическими системами называются системы вида f(x,y) = 0,

где f и g – многочлены, которые не изменяются при замене х на у, а у на х.

П ростейшая система этого типа х + у = а,

используя теорему Виета, перейдем к уравнению t 2 - аt + b = 0, корни которого являются корнями системы (t 1, t 2 ), (t 2 , t 1 ).

Сделаем замену: 1). х + у = u, xy = v. 2). x 2 + у 2 = u 2 – 2v,

3). x 3 + y 3 = u 3 – 3uv, 4). x 4 + y 4 = u 4 – 4u 2 v + 2v 2 ,

5). x 5 + y 5 = u 5 – 5u 3 v + 5uv 3 .

1.Решить систему уравнений.

Перейдем к уравнению t 2 - 5t + 6 = 0, корни которого t = 2; 3.

2). х 4 + х 2 у 2 + у 4 = 91,

х 2 – ху + у 2 = 7.

С делаем замену по формулам и получим

u 4 – 4u 2 v + 3v 2 = 91,

Заменим в первом уравнении u 2 , получим уравнение

(7 + 3v) 2 – 4(7 + 3v)v + 3v 2 = 91 или 14v = 42, откуда v = 3, u 2 = 16.

И сходная система равносильна совокупности двух систем

1. х + у = 4, 2. х + у = -4, 1. t 2 – 4t + 3 = 0, t = 1; 3.

ху = 3. ху = 3. 2. t 2 + 4t + 3 = 0, t = -1; -3.

Ответ: (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1).

Задачи для самостоятельного решения.

Решить систему уравнений.

1 ). х + ху + у = 27,

х 2 у + ху 2 = -520. Решение:

Разложим на множители левую часть второго уравнения ху(х + у) и сделаем замену

uv = -520. воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета

t 2 – 27t – 520 = 0, t = 40; -13. т.е. u = 40, v = -13 или u = -13, v = 40.

х + y = 40, или х + у = -13,

воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета

1. t 2 – 40t – 13 = 0 t =

2. t 2 + 13t + 40 = 0 t = -8; -5.

Заменим х + у = u, xy = v.

Заменим во втором уравнении v, получим уравнение

u 2 + u – 2 = 0, u = -2; 1. v = -3; -6.

И сходная система равносильна совокупности двух систем

1). х + у = -2, 2). х + у = 1,

воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета

1. t 2 + 2t – 3 = 0 t = -3; 1.

2. t 2 - t – 6 = 0 t = -2; 3.

Ответ: (1; -3), (-3; 1), (-2; 3), (3; -2).

8(х 3 + у 3 ) = 65ху.

Заменим х 3 + у 3 = (х + у)((х + у) 2 – 3ху) и х + у = u, xy = v.

Заменим во втором уравнении v, получим уравнение

8u 3 – 9.6u 2 – 26u = 0, u = 0; -1,3; 2,5. v = 0; -0,52; 1.

Исходная система равносильна совокупности трех систем

1). х + у = 0, 2). х + у = -1,3, 3). х + у = 2,5,

ху = 0. ху = -0,52 ху = 1

воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета

2. t 2 + 1,3t – 0,52 = 0 t = .

3. t 2 – 2,5t + 1 = 0 t = 2; 0,5.

Ответ: (2; 0,5), (0,5; 2), ( ; )( ; ),(0; 0).

4). (х + у)(х 2 – у 2 ) = 200,

З аменим х + у = t, t 2 = 100, t = ±10.

1). х + у = 10, 2). х + у = -10,

х – у = 2. х – у = 2.

х = 6, у = 4. х = -4, у = -6.

Ответ: (6; 4), (4; 6), (-4; -6), (-6; -4).

5). х 2 у - ху 2 = 30.

ху 2 + х 2 у = 70.

З аменим х 2 у = u ху 2 = v

u + v = 70. u = 50, v = 20.

Исходная система равносильна системе

Выразим у = , подставим во второе уравнение

х 3 = 125, х = 5, у = 2.

6). х 4 + у 4 – х 2 у 2 = 13,

х 2 – у 2 + 2ху = 1.

С делаем замену переменных: х 2 – у 2 = u, xy = v. Тогда

u 2 + v 2 = 13, u = 1 – 2v,

u + 2v = 1. 1 – 4v + 4v 2 + v 2 = 13.

Откуда v = , u = , или v = 2, u = -3.

Исходная система равносильна совокупности двух систем

х 2 – у 2 = , х 2 – у 2 = -3,

Решаем методом подстановки

Ответ: (х 1 ; у 1 ); (х 2 ; у 2 ); (1; 2); (-1; -2).

7 ). х 4 + у 2 = 650,

Из вида системы следует, что | х | = | у |. Поэтому х 4 + х 2 = 650.

Введем новую переменную z = x 2 , где z  0. Тогда

z 2 + z – 650 = 0, z = 25; z = -26.

x 2 = 25, х = ± 5, у = ± 5.

Ответ: (5; 5), (5; -5), (-5; 5), (-5; -5).

х 2 – ху + у 2 = 52. Ответ: (6; -2), (-2; 6).

Р ешить систему уравнений

Решить систему уравнений

х 2 + у 2 + х + у = 62.

Р ешить систему уравнений

(х 2 + х + 1)(у 2 + у + 1) = 3,

Р ешить систему уравнений

Ответ: (-2; 1), (1; -2), (1; 1).

3. Иррациональные системы с двумя неизвестными

Решить систему уравнений.

Введем новую переменную t = , где t ≥ 0 , получим 2t 2 – 3t – 2 = 0, откуда t 1 = 2; t 2 = -1/2. Второй корень посторонний.

Решить систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения на - , получим

5х = 5( + ) или = - х

Исходная система равносильна

Сложим эти уравнения и получим

+ = 2 + 2у – х. или х = 2у – 3. Подставим в систему, получим

= 4 – у, откуда у 2 – 13у + 22 = 0, у = 11; 2, х = 19; 1.

Проверка показывает, что подходит пара (1; 2).

Задачи для самостоятельного решения

Решить систему уравнений

Запишем второе уравнение в виде = - и возведем в квадрат, получим

Подставим у в первое уравнение системы, получим х 4 – 5х 2 + 4 = 0, откуда

х = ± 1; ± 2, сделаем проверку и запишем ответ.

Решить систему уравнений

Освободимся от иррациональности в знаменателях, получим , откуда

Заменим во втором уравнении = t, где t ≥ 0, имеем t 2 + t – 56 = 0, откуда t 1 = 7; t 2 = -8. Второй корень посторонний. Получим х 2 + ху = 45.

Исходная система равносильна совокупности двух систем

х 2 + ху = 45. х 2 + ху = 45.

Найдем четыре решения, которые удовлетворяют и исходной системе.

Ответ: (5; 4), (-5; -4), (15; -12), (-15; 12).

4. Системы из трех уравнений с тремя неизвестными

Решить систему уравнений.

Вычитая из первого уравнения второе, получим (х – у) – z(x – y) = 0,

(x – y)(1 – z) = 0, x = y или z = 1.

1. Подставим z = 1 в систему

Решив ее, получим 1; 5; 1), (5; 1; 1).

2. Подставим х = у в систему

x + хz = 6, x + хz = 6,

z + x 2 = 6. | *-x -xz – x 3 = -6x.

Сложим эти уравнения, получим х 3 – 7х + 6 = 0.

х = 1; 2; -3. у = 1; 2; -3. z = 5; 2; -3.

Ответ: (1; 5; 1), (5; 1; 1), (1; 1; 5), (2; 2; 2), (-3; -3; -3).

Решить систему уравнений.

Разделив произведение каждой пары на третье уравнение, получим

Ответ: (2; 3; 4), (-2; -3; -4).

Решить систему уравнений.

Вычитая каждое уравнение из суммы двух других, найти все попарные произведения неизвестных, а затем найти неизвестные, как это было сделано в предыдущем примере.

Решить систему уравнений.

Введем новые переменные u = , v = , t = , получим

u + 10v = , 5v + 6t = , 20v + 24t = , 200v = 4, v = ,

5v + 6t = , 8t – 60v = . -24t + 180v = . t = , u = .

Следовательно, имеем систему

Откуда имеем х = 2; y = 5; z = 10. или х = -2; y = -5; z = -10

Ответ: (2; 5; 10), (-2; -5; -10).

Задачи для самостоятельного решения.

Решить систему уравнений.

Так как ни одна переменная не может быть равна 0, то все дроби можно заменить

обратными, разделив предварительно обе части первого уравнения на 3.

Решить систему уравнений.

xy + yz + zx = 11. | *2

Сложим все уравнения почленно, получим (x + y + z) 2 + (x + y + z) – 42 = 0,

(x + y + z) = -7 или (x + y + z) = 6

1. x + y + z 2 = 12, 2. xy + yz + zx = 11,

x + y + z = -7, x + y + z = -7,

x + y + z = 6. x + y + z = 6.

z = 3. x = 2; 1. y = 1; 2

(остальные решения выражаются иррациональными числами).

Ответ: (2; 1; 3), (1; 2; 3).

Решить систему уравнений.

x 2 + y 2 + z 2 = 24,

x 3 + y 3 + z 3 = 64.

Выделим в каждом уравнении сумму х + у, получим

(x + y) 2 – 2xy + z 2 = 24,

(x + y)(x + y) 2 – 3xy) + z 3 = 64.

Введем новую переменную t = ху и заменим во втором и третьем уравнениях

(4 – z) 2 – 2t + z 2 = 24, 16 – 8z + z 2 – 2t + z 2 – 24 = 0,

(4 – z)((4 – z) 2 – 3t) + z 3 = 64. 64 – 32z + 4z 2 – 12t – 16z + 8z 2 – z 3 + 3zt + z 3 = 64.

t = z 2 – 4z – 4, t = z 2 – 4z – 4,

4z 2 – 16z – 4t + zt = 0. z 3 – 4z 2 – 4z + 16 = 0.

z 2 (z – 4) – 4(z – 4) = 0, (z – 4)(z 2 – 4) = 0, z = 4; -2; 2. t = -4; 8; -8.

Решив систему x + y = 4 – z, получим шесть решений.

Ответ: (2; -2; 4), (-2; 2; 4), (2; 4; -2), (4; 2; -2), (-2; 4; 2), (4; -2; 2).

Решить систему уравнений.

Полагая u = , v = , t = , получим

У множим второе уравнение на v и вычтем из него третье

uv 2 + v 2 t = 27v – 27,

Подставив выражение для u + t из первого уравнения во второе, получим

9v 2 – v 3 = 27v – 27, (v – 3) 3 = 0, v = 3.

Из второго и третьего уравнений найдем u и t

u + t = 6, u + t = 6, u = 3, t = 3. Значит x = y = z = .

Найти действительные решения уравнения.

3(x 2 + y 2 + z 2 ) = 2(xy + yz + zx) + 16z – 56 + 8y.

Раскроем скобки 3x 2 + 3y 2 + 3z 2 – 2xy – 2yz – 2zx – 16z – 8y + 56 = 0.

(x + y – z – 2) 2 + (x – y + z – 4) 2 + (-x + y + z – 6) 2 = 0.

Так как x, y, z – действительные числа, то равенство возможно только при

одновременном обращении в 0 каждого из трех слагаемых, т.е. это уравнение

равносильно системе трех уравнений

-x + y + z – 6 = 0. откуда x = 3, y = 4, z = 5.

1 . , 2. x(x + y + z) = 7, 3. x 2 + xy + xz – x = 2,

, y(x + y + z) = 14, y 2 + xy + yz – y = -2,

. z(x + y + z) = 28. z 2 + xz + yz – z = 6.

Ответ: (1; 2; 3) (1; 2; 4), (-1; -2; -4) (1; -1; 3), (-2/3; 2/3; -2).

4 . yz = x, 5. x(y + z) = 5, 6. x + y + z = 1,

zx = y, y(x + z) = 8, xy + xz + yz = -4,

xy = 6z. x + y + z = 6. x 3 + y 3 + z 3 = 1.

Ответ: (0; 0; 0), (3; 2; 1), (-3; -2; 1), (3; -2; -1), (-3; 2; -1).

Ответ: (1; 2; 3), (1; 4; 1), (5; 2; -1), (5; 4; -3).

Ответ: (1; 2; -2), (2; 1; -2), (-2; 1; 2), (1; -2; 2), (2; -2; 1), (-2; 2; 1).

1 . xy = 6, 2. x(y + z) = 27, 3. x + y + z = 2,

yz = 15, y(x + z) = 32, x + 2y + 3z = 5,

zx = 10. z(x + y) = 35. x 2 + y 2 + z 2 = 6.

Ответ: (2; 3; 5), (-2; -3; -5).Ответ: (3; 4; 5), (-3; -4; -5).Ответ: (1; -1; 2), (- ; ; ).

4. x + y = xyz, 5. xy + x + y = 7, 6. x + y + z = 2,

y + z = xyz, yz + y + z = -3, x 2 + y 2 + z 2 = 6,

z + x = xyz. xz + x + z = -5. xyz = -2.

Ответ: (-5; -3; 0), (3; 1; -2).

Ответ: (1; 2; -1), (1; -1; 2), (-1; 1; 2), (-1; 2; 1), (2; 1; -1), (2; -1; 1).

Графический метод решения систем уравнений

Организуется беседа по пройденному материалу, делаются обобщения, ответы подкрепляются наглядными рисунками.

Вопросы для повторения :

Какие виды функций вы знаете?

Что называется графиком функции?

Какой формулой задается линейная функция?

Что является графиком линейной функции?

Какой формулой задается обратная пропорциональность?

Что является графиком обратной пропорциональности?

Каким уравнением задается окружность?

Какая функция называется квадратичной?

Что является графиком квадратичной функции?

Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками ( строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой).

Пример. Решить систему уравнений графическим способом:

- Что является графиком уравнения x 2 + y 2 = 25?

- Что является графиком уравнения y = -x 2 + 2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x 2 + y 2 = 25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = -x 2 + 2x + 5.

- Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?

- Сколько точек пересечения у данных графиков?

- Сколько решений имеет данная система уравнений?

- Назвать эти решения.

- Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Сначала на последний вопрос отвечают учащиеся, затем на экран выводится алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя переменными, с предупреждением о наиболее типичных ошибках.

1. Построим в одной системе координат графики уравнений:

х 2 + у 2 = 25 и у = -х 2 + 2х + 5

Координаты любой точки окружности являются решением уравнения х 2 + у 2 = 25,

а координаты любой точки параболы являются решением уравнения у = -х 2 + 2х + 5.

З начит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением системы.

Находим по рисунку значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2;-4,5), В(0;5),

Тогда система имеет 4 решения:

х 1 » -2,2, у 1 » -4,5 х 2 » 0, у 2 » 5

х 3 » 2,2, у 3 » 4,5 х 4 » 4, у 4 » -3

Второе и четвертое из этих решений – точные, а первое и третье – приближенные.

О существляется проверка правильного понимания учащимися изученного материала. Выполняются упражнения по выработке умений графически решать системы уравнений.

З адание : Решить графически систему уравнений: x y = 3,

Задачи для самостоятельного решения с последующей проверкой.

З адание: Решить графически системы уравнений:

а) y – x 2 = 0, б) x 2 + y 2 = 25,

2x – y + 3 = 0. y = -x 2 – 6.

Найдите сумму решений системы уравнений:

Найдите меньшую из сумм решений системы уравнений:

Решите системы уравнений:

11) Найдите точку пересечения прямых и , и укажите в ответе среднее арифметическое ее координат.

12) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного прямыми , и осями координат.

Решите системы уравнений:

Найдите наименьшее значение , где решение системы уравнений:

Найдите разность решений систем уравнений, если :

Решите системы уравнений:

Найдите квадрат расстояния между точками, координат которых является решением системы:

Решите системы уравнений:

43) Если решение системы уравнений то значение выражения равно …

Найдите разность решений системы уравнений:

Найдите произведение решений системы уравнений:

Найдите наименьшее из значений , где решение системы:

1) ; 2) 0; 3) 4,5; 4) 7; 5) 8

Найдите количество решений системы уравнений:

Решите системы уравнений:

Занятие 7 -9 Уравнения и неравенства с модулем.

Цель: Повторить определение модуля, его геометрическая интерпретация и использование её при решении уравнений и неравенств. Научить применять переход от уравнения к равносильной системе. Научить применять метод промежутков при решении уравнений с модулем.

Пример 4. | х – 3 | + | х + 2| - х > 5.

Решение. На числовой оси отметим значения, при которых

х – 3 = 0 и х + 2 = 0,

Рассмотрим неравенство на каждом из полученных промежутков.

-3х > 4, Из соотношений х 5, т. е. –х > 0, х 5, т. е. х >6 – решение неравенства.

Найденные решения данного неравенства на различных промежутках удобно изобразить на числовых осях.

Уравнения, содержащие модуль

Найдите произведение корней уравнений:

Найдите сумму решений уравнений:

Найдите наибольший целый корень уравнений:

Найдите наименьший целый корень уравнения:

Найдите количество корней уравнения, принадлежащих промежутку :

Найдите произведение корней уравнений:

Найдите произведение целых корней уравнения:

Найдите наименьший целый корень уравнения:

Найдите среднее арифметическое корней уравнения:

Найдите наибольшее решение уравнения:

Найдите сумму корней уравнений:

Найдите количество решений уравнений:

Найдите сумму целых решений уравнения:

Найдите сумму числа корней уравнения и их произведение:

Найдите сумму целых корней уравнений:

Найдите сумму корней уравнения:

Найдите наименьший корень уравнения:

Найдите количество целых корней уравнения:

Найдите сумму корней уравнений:

Найдите произведение большего корня на количество различных корней уравнения:

Неравенства, содержащие модуль

Найдите сумму целых решений неравенств:

Найдите сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства:

Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного целых решений неравенств:

Найдите сумму целых решений неравенств, принадлежащих отрезку .

Найдите количество целых решений неравенства удовлетворяющих неравенству :

Найдите произведение целых решений неравенства:

Найдите количество целых чисел, которые не являются решением неравенства:

Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений неравенства:

Найдите длину промежутка, который является решением неравенства:

Найдите количество целых решений неравенства, принадлежащих отрезку :

Найдите сумму целых решений неравенств, принадлежащих отрезку :

Неравенства, содержащие модуль

Занятие 10-13 Иррациональные уравнения и неравенства.

обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные методы решения иррациональных уравнений и неравенств, показать умение учащихся подходить к решению уравнений и неравенств с исследовательской позиции, обратить внимание, что общие методы решения уравнений применимы для решения иррациональных уравнений и неравенств;

ознакомить учащихся с приёмами решения иррациональных уравнений и неравенств, представляющих сложность для самостоятельного изучения;

учить планировать работу, вырабатывать навыки конспектирования, развивать умение выделять главное, обобщать;

воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения общаться в группах, повышения интереса к предмету.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, диск CD.

Творческое задание №1. (домашнее задание ко второму занятию. Работа в парах).

Решить различные иррациональные уравнения, взятые из КИМов ЕГЭ из частей В, С, из заданий для самостоятельного решения. (Чем больше решенных уравнений, тем лучше).

Творческое задание №2. (За одну неделю до занятия. Индивидуальная работа.)

Решить уравнение различными способами. Оценить достоинства и недостатки каждого способа. Оформить запись выводов в виде таблицы.

В течение выполнения творческого задания провести (по необходимости) консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.

Основные методы решения иррациональных уравнений.

Решите графически уравнение

Решение: В одной системе координат построим графики функций и . Графики пересекаются в двух точках А и В.

Данное уравнение имеет два корня.

Алгебраический. (Возведением в степень)

Возведём обе части в квадрат.

Переходим к равносильной системе:

1 Решение: Возведём обе части 2 Решение: Переходим к равносильной

у равнения в квадрат системе:

Система не имеет решений.

-неверно Ответ: корней уравнения нет

Ответ: корней нет

Специальные методы решения иррациональных уравнений.

Введение новой переменной.

Решить уравнение: (2х + 3) 2 - 3

4х 2 + 12х + 9 - 3

4х 2 - 8х - 51 - 3

х 2 – 2х – 6 = t 2 ;

4t 2 – 3t – 27 = 0

Использование свойств функций:

ОДЗ: 1) Выпишем, условие существования функции, стоящей в левой части:

2 ) Проверим на положительность или отрицательность правую часть:

Последнее неравенство решений не имеет.

3 ) Значит, исходное уравнение тоже не имеет решений, так как левая часть его

ОДЗ: х = 2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.

Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

+ (умножим обе части на - )

Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Выделение полного квадрата.

. Раскроем модули. Т.к. -1≤сos0,5x≤1, то -4≤сos0,5x-3≤-2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение

ОДЗ: х 3 - 2х 2 - 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть -х 3 + 2х 2 + 4х - 8 ≥ 0

получим т.е. х 3 - 2х 2 - 4х + 8 = 0.

Решив уравнение разложением на множители, получим

Ответ: х = 2, х = -2

Использование свойств монотонности функций.

Функции строго возрастают.

Заметим, что х = 1 , является корнем данного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой сумму двух возрастающих функций и, следовательно, сама является возрастающей функцией, принимающей каждое своё значение ровно один раз.

Поэтому других корней данное уравнение не имеет.

Метод равносильных преобразований

1. Отсутствие словесного описания 1. Громоздкая запись

2. Нет проверки 2. Можно ошибиться при

3. Четкая логическая запись комбинации знаков системы

4. Последовательность равносильных и совокупности и получить

переходов неверный ответ

При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.

П римечание 1. У равнение вида где n N, равносильно системе f(x)=g(x), f(x)=0.

П римечание 2. Уравнение вида где n N, равносильно системе f(x)=g 2 n (x), g (x)≥0.

Решить уравнение . ОДЗ: -1≤х≤3.

Пусть вектор . Скалярное произведение векторов - есть левая часть. Найдем произведение их длин . Это есть правая часть.

Получили , т.е. векторы а и в – коллинеарны.

Отсюда . Возведем обе части в квадрат.

Решив уравнение, получим х = 1 и х = .

Устная работа. Тест.

№1 Решите уравнение: 1) 4; 2)2; 3)16; 4)-2.

№2. Решите уравнение: ; 1) -21; 2)25; 3)16; 4)21.

№3. Решите уравнение: 1) -2; 8 2)-8; 2 3)-8 4)-2.

№4. Решите уравнение: 1) 1; -3,5 2)1; 3,5 3)-1 4)-1; -3,5

№5 Решите уравнение : 1) 2 2)нет корней 3)-2 4)-4

№1. Найти сумму корней уравнения:

№2. Решите уравнение .

№3. Решите уравнение и укажите наименьший корень уравнения.

№4. Решите уравнение

№1. Решите уравнение .

№2. Решите уравнение .

№3. Решите уравнение

№4. Решите уравнение

№1 Найдите сумму корней уравнения х+1= .

№2. Решите уравнение: .

№3 . Решите уравнение .

№4 . Решите уравнение

№1.Решите уравнение х- 4= .

№ 2. Решите уравнение .

№3. Решите уравнение .

№ 4. Решите уравнение .

Методика решения иррациональных неравенств

Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знак корня.

Способ решения иррациональных неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными. При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству. Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться. Однако верно основное используемое утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны . Поэтому основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Иррациональное неравенство (или ) равносильно системе неравенств или .

Первое неравенство в системе является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство (или ) равносильно совокупности двух систем неравенств

Обратимся к первой системе схемы . Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе - условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства - арифметический корень - неотрицательна при всех x , при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x , при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство (или ) равносильно системе неравенств

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x , при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.

Схемы - - наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров.

Пример 1 . Решить неравенство .

Решение . Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x , при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ . Решений нет.

Пример 2 . Решить неравенство .

Решение . Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, следовательно, возводить это неравенство в квадрат нельзя. И не надо, поскольку левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x , при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x , удовлетворяющих условию .

Пример 3 . Решить неравенство .

Решение. В соответствии со схемой решения неравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Условие выполнено при всех x , и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Пример 4 . Решить неравенство .

Решение . Это неравенство решается при помощи схемы . В данном случае , поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному . Ответ. .

Пример 5. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы . Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

Пример 6. Решить неравенство .

Решение . Данное неравенство можно решать с помощью схемы . Оно равносильно совокупности двух систем

Пример 7. Решить неравенство .

Решение . Согласно схеме , данное неравенство равносильно системе

Более сложно решение иррациональных неравенств вида

Поскольку , , то должны выполнятся условия , , (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству .

(соответственно неравенству ), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8 . Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Последнее неравенство этой системы приводится к виду , откуда находим, что . Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, т.е. имеет вид .

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться способ подстановки или введения новой переменной. Весьма эффективны так называемые рационализирующие подстановки. Применение рационализирующих подстановок позволяет привести функцию, иррациональную относительно исходной переменной, к рациональной функции относительно новой переменной.

Пример 9 . Решить неравенство .

Решение. Введем новую переменную t с помощью рационализирующей подстановки , .

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎