Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные.

1 Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов Задачи в билетах приведены подобные.

2 Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины. 3. Задача: Найдите центр окружности на оси Х, если известно, что окружность проходит через точку (1;4) и радиус окружности равен 5. Билет 2 1. Второй признак равенства треугольников. 2. Формула для радиуса окружности, вписанной в правильный п-угольник. Найти сторону правильного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4см.. 3. Задача: Сторона правильного, вписанного в окружность треугольника равна a. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Билет 3 1. Третий признак равенства треугольников. 2. Теорема Фалеса. Разделить отрезок на пять равных частей. 3. Задача: В прямоугольном треугольнике катет равен a, а противолежащий ему угол (альфа). Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу Билет 4 1. Признаки параллельности двух прямых. 2. Окружность. Определение, взаимное расположение прямой и окружности. Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6см, и окружность с центром в точке О радиуса 5см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС, АС являются секущими по отношению к этой окружности? 3. Задача:.Даны вершины треугольника А(0;1); В(4;0); С(1;3). Найдите косинусы углов треугольника. Билет 5 1. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. 2. Касательная к окружности. Определение, свойство. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ=8см, а радиус окружности равен 6см. 3. Задача: В равнобедренном треугольнике боковая сторона 17 см, а основание 16 см. Найдите высоту, опущенную на основание. Билет 6

3 1. Теорема о сумме углов выпуклого п-угольника. 2. Формула длины окружности, дуги. Найти радиус окружности, если длина окружности равна 30см. Чему равна длина дуги окружности радиуса 5см, с градусной мерой 100градусов? 3. Задача: Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон относятся, как 4:5. Найдите углы ромба. Билет 7 1. Параллелограмм. Определение, свойства. 2. Формула для радиуса окружности, описанной около правильного п- угольника. Периметр квадрата, вписанного в окружность равен 28 2 см. Найти сторону правильного треугольника, вписанного в данную окружность. 3. Задача: Стороны треугольника равны 0,8м; 1,6м и 2м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5. Билет 8 1. Прямоугольник. Определение, свойства. 2.Теорема о соотношении между сторонами треугольника (неравенс тво треугольника). Найти стороны равнобедренного треугольника, если периметр равен 20см, а одна сторона в 2 раза больше другой. 3. Задача: Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга, вписанного в него. Билет 9 1. Теорема о средней линии треугольника. 2. Формула площади круга, сектора. Длина окружности равна 10π. Вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Градусная мера дуги окружности с радиусом 6см равна вычислите площадь кругового сектора, соответс твующего этой дуге. 3. Задача: Две стороны параллелограмма относятся как 3:4,а периметр его равен 2,8м. Найдите стороны. Билет Теорема о средней линии трапеции. 2. Формулы площади треугольника. Найти высоту треугольника АВС, проведённую к стороне ВС, если ВС=4, АС=3, ВН=5(высота треугольника). 3. Задача: Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внутренних углов которого равен 135º? Билет Теорема об окружности, описанной около треугольника. 2. Осевая симметрия. Определение. Дана трапеция ABCD и прямая MN параллельная боковой стороне. Построить трапецию A 1 B 1 C 1 D 1, симметричную трапеции ABCD относительно прямой MN. 3. Задача: Даны стороны, а=5 и два острых угла β=30º и γ(гамма)=45º треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны. Билет Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

4 2. Формула площади трапеции. Найти площадь равнобедренной трапеции, с углом при основании 45º и основаниями 5см и 9см. 3. Задача: Сумма двух внутренних накрес т лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна Чему равны эти углы? Билет Теорема об угле, вписанном в окружность. 2. Уравнение прямой. Записать уравнение прямой, проходящей через две точки А(3,4) и В(2,6). 3. Задача: Хорды окружности AD и BC пересекаются. Угол ABC равен 50 0,угол ACD равен Найдите угол CAD. Билет Признаки параллелограмма. 2. Параллельный перенос. Определение. Дана трапеция ABCD, точка М лежит на стороне ВС. Построить трапецию A 1 B 1 C 1 D 1, полученную из трапеции ABCD параллельным переносом на вектор MD. 3. Задача: Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен Билет Ромб. Определение, свойства. 2. Тригонометрические тождества. В треугольнике АВС АС=5, ВС=6, cosa=0,6. Найти угол В. 3. Задача: Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30 0.Найдите эти углы. Билет Теорема Пифагора. 2. Центральная симметрия. Определение. Дана трапеция ABCD и точка О, лежащая вне трапеции. Построить трапецию A 1 B 1 C 1 D 1, симметричную трапеции ABCD относительно точки О. 3. Задача: Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 см и 18см, а боковая сторона равна средней линии. Билет Теорема синусов. 2. Серединный перпендикуляр. Определение. Пос троить серединный перпендикуляр к отрезку. 3. Задача: Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведены прямые, параллельные его катетам. Определите вид получившегося четырехугольника и найдите его диагонали, если гипотенуза равна 9 см. Билет Теорема косинусов. 2. Биссектриса угла. Определение, построение.

5 3. Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BM. На ней взята точка D. Докажите, что треугольники ABD и СBD равны. Билет Первый признак подобия треугольников. 2. Построение середины данного отрезка. 3. Задача: Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны и150 0 Билет Второй признак подобия треугольников. 2. Построение биссектрисы данного угла. 3. Задача: Треугольники ABC и ABC 1 равнобедренные с общим основанием AB. Докажите равенство треугольников ACC 1 и BBC 1. Билет Третий признак подобия треугольников. 2. Построение угла, равного данному. 3. Задача: В равнобокой трапеции основания равны 10см и 24 см, боковая сторона 25см. Найти высоту трапеции. Билет Площадь параллелограмма. Площадь треугольника. 2. Перпендикулярные прямые. Определение, построение прямой, перпендикулярной данной. 3.Задача: Периметр одного треугольника составляет 13 периметра другого треугольника, подобного ему. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м.найдите эти стороны. Билет Равнобедренный треугольник. Определение, свойства. 2. Уравнение окружности. Построить окружность, заданную уравнением (х+4) 2 +(у- 3) 2 =16. Записать уравнение окружности радиусом 5см, с центром в точке, лежащей на оси абсцисс и проходящей через начало координат. 3. Задача: Абсолютная величина вектора а (5,m) равна 13. Найдите m. Билет Вертикальные углы. Определение, свойство. 2. Скалярное произведение двух векторов. Определение, свойства. Найти угол между векторами a (4, -1) и b (5,2). 3. Задача: Прямая, пересекающая две параллельные прямые образует с одной из них угол в 150. Найдите отрезок секущей, заключённый между этими прямыми, если расстояние между двумя параллельными прямыми равно 27см. 11

Теоретическая часть (первый вопрос в билете) 1. Какая фигура называется углом? Какой угол называется острым? прямым? тупым? развернутым? 2. Какие углы называются смежными? Сформулируйте свойство смежных