Последовательное и параллельное соединения проводников

1 Какое надо взять сопротивление R, чтобы можно было включить в сеть с напряжением V=220 В лампу, рассчитанную на напряжение V0 = 120 В и ток I0 = 4 А?

Решение:

2 Две дуговые лампы и сопротивление R соединены последовательно и включены в сеть с напряжением V =110В. Найти сопротивление R, если каждая лампа рассчитана на напряжение V0 = 40 В, а ток в цепи I =12 А.

Решение: Напряжение на сопротивлении По закону Ома отсюда

3 Для измерения напряжения на участке цепи последовательно включены два вольтметра (рис. 88). Первый вольтметр дал показание V 1 = 20 В, второй— V2 = 80 В. Найти сопротивление второго вольтметра R 2 , если сопротивление первого вольтметра R 1 = 5 кОм. Решение: Через вольтметры протекает один и тот же ток I. Так как вольтметр показывает напряжение на собственном сопротивлении, то и сопротивление второго вольтметра

4 Реостат из железной проволоки, миллиамперметр и источник тока включены последовательно. При температуре t0 = 0° С сопротивление реостата R0 = 200 Ом. Сопротивление миллиамперметра R = 20 Ом, его показание I0 = 30 мА. Какой ток I t будет показывать миллиамперметр, если реостат нагреется до температуры t = 50° С? Температурный коэффициент сопротивления железа .

Решение:

5 Проводник с сопротивлением R = 2000 Ом состоит из двух последовательно соединенных частей: угольного стержня и проволоки, имеющих температурные коэффициенты сопротивления . Какими следует выбрать сопротивления этих частей, чтобы общее сопротивление проводника R не зависело от температуры?

Решение: При температуре t общее сопротивление последовательно включенных частей проводника с сопротивлениями R1 и R2 будет где R 10 и R 20 — сопротивления угольного стержня и проволоки при t 0 =0° С. Общее сопротивление проводника не зависит от температуры, если В этом случае при любой температуре Из последних двух уравнений найдем

6 Составить такую схему электропроводки для освещения одной лампочкой коридора, которая позволяет включать и выключать свет независимо в любом конце коридора.

Решение: Схемы электропроводки, позволяющие включать и выключать лампочку в любом конце коридора, показаны на рис. 347. У концов коридора устанавливаются два переключателя П1 и П2 каждый из которых имеет два положения. В зависимости от расположения выводов от сети может оказаться выгоднее с точки зрения экономии проводов вариант а) или б). 7 В сеть с напряжением V= 120 В включены две электрические лампочки с одинаковыми сопротивлениями R = 200 Ом. Какой ток пойдет через каждую лампочку при их параллельном и последовательном соединениях?

Решение: I1 = V/R=0,6 А при параллельном соединении; I 2 =V/2R=0,3 А при последовательном соединении.

8 Реостат со скользящим контактом, соединенный по схеме, приведенной на рис. 89, является потенциометром (делителем напряжения). При перемещении движка потенциометра снимаемое с него напряжение Vx изменяется от нуля до напряжения на клеммах источника тока V. Найти зависимость напряжения Vx от положения движка. Построить график этой зависимости для случая, когда полное сопротивление потенциометра R 0 во много раз меньше сопротивления вольтметра r .

Решение: Пусть при данном положении движка сопротивление участка ах потенциометра равно r x (рис. 89). Тогда общее сопротивление этого участка и вольтметра (они соединены параллельно) а сопротивление остальной части потенциометра xb равно Таким образом, полное сопротивление между точками а и b будет Ток в цепи I= V/R. Напряжение на участке ах

Так как по условию R 0 <x R0 , то первым членом в знаменателе можно пренебречь по сравнению со вторым (первый член представляет собой произведение двух малых величин r x и R 0 — r x , в то время как второй — произведение малой величины R0 на большую величину r ). Следовательно, т.е. напряжение V x пропорционально сопротивлению r x . В свою очередь сопротивление r х пропорционально длине участка ах. На рис. 348 сплошная прямая показывает зависимость V x от r x , штрихпунктирная линия — зависимость V x от r x , когда R 0

r, т. е. когда в выражении для V x нельзя пренебречь первым членом в знаменателе. Эта зависимость не является линейной, однако и в этом случае V x изменяется в пределах от нуля до напряжения на клеммах источника V. 9 Найти сопротивление R биметаллического (железо— медь) провода длины l =100м. Диаметр внутренней (железной) части провода d=2 мм, общий диаметр провода D = 5 мм. Удельные сопротивления железа и меди . Для сравнения найти сопротивления железного и медного проводов R ж и R м диаметра D и длины l .

Решение: Площади сечения железной и медной частей провода (рис. 349). Их сопротивления Сопротивление R биметаллического провода находится по формуле параллельного соединения проводников: Сопротивления железного и медного проводов диаметра D и длины l

10 Найти общее сопротивление проводников, включенных в цепь по схеме, изображенной на рис. 90, если сопротивления R 1 = R 2 = R 5 = R6 = 1 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 8 Ом. Решение:

11 Общее сопротивление двух последовательно соединенных проводников R =5 Ом, а параллельно соединенных R0 = 1 ,2 Ом. Найти сопротивление каждого проводника.

Решение: При последовательном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление а при параллельном соединении отсюда Согласно известному свойству приведенного квадратного уравнения (теорема Виета) сумма корней этого уравнения равна второму его коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней-свободному члену, т. е. R1 и R2 должны быть корнями квадратного уравнения отсюда Подставив значения R0 и R, найдем R1 = 3 Ом и R2 = 2 0м (или R1 =2 Ом и R2 = 3 Ом).

12 К проволочному кольцу в двух точках присоединены подводящие ток провода. В каком отношении делят точки присоединения длину окружности кольца, если общее сопротивление получившейся цепи в n = 4,5 раза меньше сопротивления проволоки, из которой сделано кольцо?

Решение: Точки присоединения подводящих проводов делят длину окружности кольца в отношении 1:2, т. е. отстоят друг от друга по дуге на 120град.

13 В цепи, изображенной на рис. 91, амперметр показывает ток I =0,04 А, а вольтметр — напряжение V=20 В. Найти сопротивление вольтметра R 2 , если сопротивление проводника R1 = 1 кОм. Решение:

14 Найти сопротивление R 1 лампочки по показаниям вольтметра (V=50 В) и амперметра ( I =0,5 А), включенных по схеме, изображенной на рис. 92, если сопротивление вольтметра R 2 = 40 кОм. Решение: Ток в общей цепи I=I 1 +I 2 , где I 1 и I 2 — токи, текущие через лампочку и вольтметр. Так как Пренебрегая током I2 = 1,25мА по сравнению с I=0,5 А получим по приближенной формуле то же значение сопротивления лампочки: R1 = 100 Ом.

15 Найти сопротивление проводника R 1 по показаниям амперметра ( I =5 А) и вольтметра ( V =100В), включенных по схеме, изображенной на рис. 93, если сопротивление вольтметра R 2 = 2,5 кОм. Какова будет ошибка в определении R 1 , если, предположив, что , при расчетах пренебречь током, текущим через вольтметр? Решение: Показание вольтметра где I1 и I2 -токи, текущие через сопротивление и вольтметр. Общий ток отсюда Если пренебречь током I2 по сравнению с I, то искомое сопротивление Ошибка в определении R` 1 будет Учитывая, что найдем относительную ошибку: 16 К источнику тока с напряжением V присоединены последовательно два проводника с одинаковыми сопротивлениями R. Какова будет разница в показаниях вольтметров с сопротивлениями R и 10R, если их поочередно подключать к концам одного из проводников?

Решение: Вольтметры с сопротивлениями R и 10R показывают напряжения поэтому разница в показаниях вольтметров 17 К источнику тока с напряжением V= 12 В присоединены две лампочки (рис. 94). Сопротивления участков цепи r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = r = 1,5 Ом. Сопротивления лампочек R 1 = R 2 = R = 36 Ом. Найти напряжение на каждой лампочке.

Решение:

18 В схеме, изображенной на рис. 95, напряжение источника тока V=200 В, а сопротивления проводников R 1 =60Ом, R 2 = R 3 = 30 Ом. Найти напряжение на сопротивлении R 1 . Решение:

19 Электрическая цепь состоит из источника тока с напряжением V =180В и потенциометра с полным сопротивлением R = 5 кОм. Найти показания вольтметров, присоединенных к потенциометру по схеме, изображенной на рис. 96. Сопротивления вольтметров R 1 =6 кОм и R 2 = 4кОм. Движок x стоит посередине потенциометра. Решение:

20 Три резистора включены по схеме, изображенной на рис. 97. Если резисторы включены в цепь в точках а и b , то сопротивление цепи будет R = 2 0 Ом, а если в точках а и с, то сопротивление цепи будет R 0 = 15 O м. Найти сопротивления резисторов R 1 , R 2 , R 3 , если R 1 =2R 2 . Решение: Эквивалентные схемы включения изображены на рис. 350. Сопротивления реостатов

21 На сколько равных частей нужно разрезать проводник, имеющий сопротивление R = 36 Ом, сопротивление его частей, соединенных параллельно, было R0 — 1 Ом?

Решение: Весь проводник имеет сопротивление R = nr, где r-сопротивление каждой из n равных частей проводника. При параллельном соединении n одинаковых проводников их общее сопротивление R0 = r/n. Исключая r, получим n может быть лишь целым положительным числом, большим единицы. Поэтому решения возможны только в случаях, когда R/R0 = 4, 9, 16, 25, 36,… В нашем случае

22 Из проволоки сделан каркас в форме куба (рис. 98), каждое ребро которого имеет сопротивление r . Найти сопротивление R этого каркаса, если ток I в общей цепи идет от вершины А к вершине В. Решение: На участках Аа и bВ (рис. 351), ввиду равенства сопротивлений ребер куба и их одинакового включения, ток I равномерно разветвляется по трем ветвям и поэтому в каждой из них равен I/3. На участках ab ток равен I/6, так как в каждой точке а ток вновь разветвляется по двум ребрам с равными сопротивлениями и все эти ребра включены одинаково. Напряжение между точками А и В складывается из напряжения на участке Аа, напряжения на участке ab и напряжения на участке bВ:

23 Из проволоки, единица длины которой имеет сопротивление R l , сделан каркас в форме окружности радиуса r , пересеченной двумя взаимно перпендикулярными диаметрами (рис. 99). Найти сопротивление Rx каркаса, если источник тока подключен к точкам c и d. Решение: Если источник тока подключен к точкам с и d, то напряжения на участках da и ab равны, поскольку проволока однородна. Следовательно, разность потенциалов между точками а и b равна нулю. Ток на этом участке отсутствует. Поэтому наличие или отсутствие контакта в точке пересечения проводников ab и cd безразлично. Сопротивление R x , таким образом, представляет собой сопротивление трех параллельно включенных проводников: cd с сопротивлением 2rR 1 , cad и cbd с одинаковыми сопротивлениями p rR 1 . Из соотношения

24 Провод длины L= 1 м сплетен из трех жил, каждая из которых представляет собой кусок неизолированной проволоки с сопротивлением единицы длины R l = 0,02 Ом/м. На концах провода создано напряжение V =0,01 В. На какую величину D I изменится ток в этом проводе, если от одной жилы удалить кусок длины l =20 см?

Решение: 25 Источник тока первоначально присоединяют к двум соседним вершинам проволочной рамки в форме правильного выпуклого n -угольника. Затем источник тока присоединяют к вершинам, расположенным через одну. При этом ток уменьшается в 1,5 раза. Найти число сторон n- угольника.

Решение: n=5. 26 Как надо соединить четыре проводника с сопротивлениями R 1 = 10м, R 2 = 2 0м, R 3 = 3 Ом и R 4 = 4 0м, чтобы получить сопротивление R = 2,5 Ом?

Решение: Сопротивление R = 2,5 Ом достигается, когда проводники включены по схеме сметанного соединения (рис. 352). 27 Найти проводимость k цепи, состоящей из двух последовательных групп параллельно включенных проводников. Проводимости каждого проводника первой и второй групп равны k 1 =0,5Cм и k 2 = 0,25 См. Первая группа состоит из четырех проводников, вторая— из двух.

Решение:

28 Вольтметр рассчитан на измерение напряжений до максимального значения V 0 = 30 В. При этом через вольтметр идет ток I =10 мА. Какое добавочное сопротивление Rд нужно присоединить к вольтметру, чтобы им можно было измерять напряжения до V =150В?

Решение: Для измерения вольтметром более высоких напряжений, чем те, на которые рассчитана шкала, необходимо включить последовательно с вольтметром добавочное сопротивление Rд (рис. 353). Напряжение на этом сопротивлении Vд=V-V0; поэтому сопротивление Rд=(V-V0)/I=12 кОм.

29 Стрелка миллиамперметра отклоняется до конца шкалы, если через миллиамперметр идет ток I =0,01 А. Сопротивление прибора R = 5 0м. Какое добавочное сопротивление Rд нужно присоединить к прибору, чтобы его можно было использовать в качестве вольтметра с пределом измерения напряжений V = 300 В?

Решение: Для измерения прибором напряжений, не превышающих V, необходимо последовательно с ним включить такое добавочное сопротивление Rд, чтобы V=I(R + Rд), где I-максимальный ток через прибор; отсюда Rд= V/I-R 30 кОм.

30 Вольтметр, соединенный последовательно с сопротивлением R 1 = 10 кОм, при включении в сеть с напряжением V =220 В показывает напряжение V 1 = 70 В, а соединенный последовательно с сопротивлением R 2 , показывает напряжение V2 = 20 В. Найти сопротивление R2 .

Решение:

31 Вольтметр с сопротивлением R = 3 кОм, включенный в городскую осветительную сеть, показал напряжение V =125В. При включении вольтметра в сеть через сопротивление Ro его показание уменьшилось до V0 = 115 В. Найти это сопротивление.

Решение: Городская осветительная сеть представляет собой источник тока, обладающий внутренним сопротивлением, намного меньшим сопротивления вольтметра R. Поэтому напряжение V=125 В, которое показывал вольтметр при непосредственном включении в сеть, равно напряжению источника тока. Это значит, что оно не изменяется и при включении вольтметра в сеть через сопротивление R 0 . Поэтому V=I(R + R 0 ), где I=V 0 /R — ток, текущий через вольтметр; отсюда R 0 = (V-V 0 )R/V 0 = 261 Ом.

32 Вольтметр с сопротивлением R = 50 кОм, подключенный к источнику тока вместе с добавочным сопротивлением R д = 120 кОм, показывает напряжение V0 =100 В. Найти напряжение V источника тока. Решение: Ток, текущий через вольтметр и добавочное сопротивление, I=V 0 /R. Напряжение источника тока V=I(R+R д )= (R+R д )V 0 /R = 340 В.

33 Найти показание вольтметра V с сопротивлением R в цепи, изображенной на рис. 100. Ток до разветвления равен I , сопротивления проводников R 1 и R 2 известны.