Презентация по геометрии для 10 класса по теме "Перпендикуляр и наклонная"

Расстояние от точки до плоскости α А Н М Отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α.Точка Н – основание перпендикуляра. Отрезок АМ – наклонная. Точка М – основание наклонной. Отрезок МН – проекция наклонной. ∆АМН – прямоугольный. АН – катет, АМ – гипотенуза. Поэтому АН < АМ. Длина перпендикуляра, проведённого из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α. Решите задачи: № 138а, 139

Свойство наклонных и их проекций: Если из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные, то: 1) если наклонные равны, то равны и их проекции; 2) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные. А В С М O Важная задача: Если точка равноудалена от всех вершин n - угольника, то она проецируется в центр описанной около n - угольника окружности. Верно и обратное утверждение: Если точка лежит на перпендикуляре, проходящем через центр описанной около многоугольника окружности, то она равноудалена от вершин этого многоугольника Решите: № 140, 143

№143 1. МО (АВС). 2. ΔAOM=ΔBOM=ΔCOM АО=ВО=СО, т.е. О- центр описанной окр-ти. 3. 4.ΔMOC-прямоуг., значит В С М O А Дано: ΔABC-правильный, АВ=6см, МЄ (АВС), АМ=ВМ=СМ=4см. Найдите расстояние от М до (АВС).

Расстояние между параллельными плоскостями А М А0 М0 Х Х0 α β АА0 β, ММ0 β,значит АА0ll ММ0. Отсюда следует, что АА0 = ММ0 (по свойству 20 параллельных прямых), т.е. расстояние от любой точки Х пл.α до пл.β равно длине отрезка АА0. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. Если αllβ, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

№ 144: Если прямая (а) параллельна плоскости (α), то все точки этой прямой равноудалены от этой плоскости. α а β 1) Через какую – нибудь точку прямой а проведём пл. β ll α(№59). №59: через точку, не лежащую в плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна. 2) а є β, т.к. в противном случае она пересекает пл. β, а значит и пл. α (№55), что невозможно. №55: Если прямая пересекает плоскость, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости 3)Все точки пл. β, а значит и прямой а равноудалены от плоскости α. а ll β

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью а α А В Все точки прямой равноудалены от плоскости. Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. Расстояние между скрещивающимися прямыми а По теореме о скрещивающихся прямых(п.7) через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. b α а ll α d d – искомое расстояние

Решение задач: №138а,139,140,143 Домашнее задание: п.19, № 138б, 141, 142. Законспектировать пункт 19 из замечания: расстояния от точки до …, между…

Урок 2 Теорема о трёх перпендикулярах

№138б С А В α φ ? ? m

А В С D Дано: AD (ABC), AB=5,AC=4,ВC=3,AD=6.Определите вид ΔАСВ. Найдите DC,DB. 5 4 3 6

Теорема о трёх перпендикулярах α А Н М а Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Дано: АН – перпендикуляр к пл.α; АМ- наклонная; а α, М є а, а НМ. Доказать: а АМ Доказательство: Рассмотрим плоскость АМН. Т.к. а НМ по условию и а АН, потому что АН α, то: а (АМН). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, т.е. наклонной АМ. Теорема доказана. Три перпендикуляра: АН, НМ и АМ. Верна и обратная теорема – задача № 153.

3. Установите по рисункам положение прямых а и b. А В С D b а F b1 А В F a C D b A B F a b C D ABCD – ромб. A B F a b C D ABCD – ромб.

№145 C A D B a b

Домашнее задание: № 148,149,150

Урок 3 Решение задач по теме «Теорема о трёх перпендикулярах»

А В С а а1 1. Верно ли утверждение: « Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной» ? А Н М а 2. Верно ли утверждение: « Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна и самой наклонной»? Верно. Неверно.

Проверка домашнего задания: №148 А В С К М

№149 А В С D Е 5см 5см 12см 6см 4см 4 10

№150 А В С D К 6см 7см 9см 45см 2см 4 2см

1. AF (ABC). Найти расстояние от точки F до СВ. прямоугольный равнобедренный: АС=АВ тупоугольный: С > 90º А В С F A B C F A B C F 2. Найти расстояние от точки F до АС, если FB (ABC). ABCD - прямоугольник АВСD - ромб А В С D F A B C D

Устные задачи на готовых чертежах: 1. А А1 В В1 С С1 D АВСD – куб. Доказать: 1. А1В1 В1С; 2. А1С ВD. а D1 A B C D α 30º 60º DB (ABC) Доказать: CD AC 2. 3. D A B C BAC =40º, ACB= 50º, AD ABC. Доказать: CB BD 4. α M A B D C α 1)MA (ABC), AB=AC, CD=BD. Доказать: MD BC 2)MA (ABC),BD=CD, MD BC. Доказать: АВ=АС АСD= 90º 1) AD BC, значит MD BC

5. A B C D ABCD – параллелограмм, ВМ (АВС), МС DC. Определить вид параллелограмма. 6. М ABCD – параллелограмм, СМ (АВС), МО ВD. Определить вид параллелограмма. А В С D O M 7. A O D B C M В ∆АВС: О – центр опис. окр., АМ=МС, ОD (ABC), AB=5, AC= 3, OD= 5. Найти DM. 8. A B C D E ABCD – квадрат, ВЕ (АВС), ВАЕ = 45º, SABCD = 4. Hайти S∆AEC. прямоугольник Ромб или квадрат Ответ: 3 О Ответ: 2 3

Решение задач: №154,156. Домашнее задание: №155, 159.

Урок 4 Решение задач по теме «Теорема о трёх перпендикулярах»

Проверка домашнего задания №155 С М А В 4см 2√7см Е АЕ=ВЕ=СЕ=2√2см, МЕ2=(2√7)2+(2√2)2= =28+8=36, МЕ = 6(см)

№159 В С D А М Е 1) МЕ ІІAD,DEІІΑМ; 2) AM AD(ттп) DE AD. 3)AD MB,AD AB AD (AMB); 4)тогда МЕ (АМВ) ттп

Важная задача: Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проецируется на его плоскость в центр вписанной окружности. М L A B K C N O Дано: МL=MK=MN, ML AB, MK BC, MN AC. Доказать: О – центр вписанной в n- угольник окружности. Доказательство: 1) Проведём МО (АВС). 2) ML AB, ML – наклонная, OL – проекция, значит OL AB. Аналогично OK BC, ON AC. 3) OL = OK = ON ( как проекции равных наклонных). 4) Точка О равноудалена от всех сторон n – угольника, следовательно является центром вписанной в него окружности. Верно и обратное утверждение: Если точка лежит на перпендикуляре, проведённом через центр вписанной в многоугольник окружности, то она равноудалена от сторон этого многоугольника.

Решение задач по готовым рисункам из урока 10 Домашнее задание: № 160, 205

Урок 5 Угол между прямой и плоскостью

Проверка домашнего задания №160 α β А D C B 1)ВD α, ACІІ BD. 2)AC=BD. Значит, d= АС=DB- расст. между αІІβ. 3) ABCD- прямоугольник. 4) СВ= АВ2-d2= 169-25 = =12(cм)

№205 С D А В 3дм 1дм Е АЕ=ВЕ=СЕ=2√2см, МЕ2=(2√7)2+(2√2)2= =28+8=36, МЕ = 6(см) 2дм А С В Е

Прямоугольная проекция фигуры на плоскость М М1 F F1 Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. Свойства параллельного проектирования(проек -тируемые фигуры не параллельны прямой проектирования): 1. Проекция прямой есть прямая. 2. Проекция отрезка есть отрезок. 3. Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой. 4. Проекции параллельных отрезков параллельны самим отрезкам. Проекция середины отрезка есть середина отрезка.

Свойство 1: Проекция прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Угол между прямой и плоскостью α β а а1 М М1 Н1 Н Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость φ0 М А Н α

№ 162: Доказать, что угол(φ0 ) между наклонной (МА) и плоскостью (α) наименьший из всех углов (φ), которые эта прямая образует с прямыми, проведёнными в плоскости через точку (А) пересечения наклонной с плоскостью. φ0 φ М Н N А р α Дано: МА – наклонная к пл.α; МН – перпендикуляр; МАН = φ0 ,где φ0 ≠ 90º . Доказать: φ>φ0 Доказательство: 1) Если (· ) N совпадает с (·) А, то φ= 90º и поэтому φ>φ0. 2) Рассм. случай, когда точки А и N не совпадают. 3) Из ∆ АNM: sin φ = MN/ AM; из ∆АНМ: sin φ0 = MH/ AM. Т. к. МN > MH, то sin φ> sin φ0 и поэтому φ>φ0.

Решение задач: № 151,163,208,209. Домашнее задание: п.21, №164,165. №151 А В С D H

№163 А М d H ? 45° 60° 30°

Урок 6 Решение задач по теме «Угол между прямой и плоскостью»

№164/ Домашнее задание А М H φ φ = 60°

А B C E 30° 30° ? d 120° № 165

1. Найти угол между B1D и (АВС), между B1D и (DD1C), где АА1 (АВС). А С D A1 B1 C1 прямоугольник параллелограмм А В С D A1 B1 C1 D1 В1 D1 E 2. BB1 (ABC). Найти угол между ВС1 и (АА1В1). А В С А1 С1 В1 А В С А1 С1 В1 А С В А1 С1 В1 ∆АВС –равносторонний; прямоугольный: В = 90º; тупоугольный: В >90º D

№ 208 К L M E 45° 30° ? 9см

№209 А В С С1 В1 40° 50° Решение задач: № 202. Домашнее задание: №199,203

Урок 7 Решение задач по темам §2 «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»

Проверка домашнего задания №199 S M A B C

№203 А В С Е К О ? 10см 10см 12см 4см

1. В ∆АВС: AD = BD = CD, AOB = 60º. Найти: АСВ А В С D O Ответ: 60º 2. В ∆АВС: АВ = ВС = АС, О – центр ∆АВС, DC = 10, DO = 8, DO (ABC). Найти: S∆ABC, расстояние от точки D до сторон треугольника А В C D O 8 10 R R R r Ответ: 27 3, 2. 3. В ∆АВС: АВ = ВС = АС, О- центр ∆АВС, DM = 5, DO = 4. Найти: Р∆АВС,AD,BD,DC. A B C D O M 5 4 r R Ответ: 18 3, 2 13. 4. В ∆АВС: АО = ОВ, С = 90º, DO (ABC), DC = 5, DO = 3. Найти: R, АВ, AD,DB. D O A B C R R Ответ: 4, 8, 5, 5.

5. В ∆АВС : DO (ABC), АС = СВ = 10, АВ = 12, DM AB, DN AC, DK BC, DM= DN = DK, DO = 1. Найти DC. А М В К С N O D r r = 2S P S = p(p-a)(p-b)(p-c) Ответ: 26

Решение задач: №202,204. Домашнее задание: №206,207.

3. В прямоугольном треугольнике катет равен а, противолежащий угол равен 60 º. Через гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45 º. Найти расстояние от вершин прямого угла до плоскости. А В С С1 D Ответ: а 2 4 4. Меньший катет прямоугольного треугольника лежит на плоскости, которая составляет с плоскостью треугольника угол в 30º. Гипотенуза равна с, один из острых углов треугольника – 60º. Найти расстояние от вершины меньшего острого угла до плоскости. А А1 В С 60º 30º Ответ: с 3 4

3. АА1 (АВС). Найти угол между: B1F и (ABC); B1F и (KK1F1); B1F и (AA1B1). А В С D F K A1 B1 С1 D1 F1 K1 A B C D F K A1 B1 C1 D1 F1 K1 A B C D F K A1 B1 C1 D1 F1 K1 4. BD (ABC). Найти угол между CD и (ABD). ∆ABC – прямоугольный, С =90º; равносторонний; прямоугольный, А=90º А В С D C В A D A B C D

5. Через сторону квадрата, площадь которого равна 4, проведена плоскость. Расстояние от другой стороны квадрата до этой плоскости равно 6. Hайти угол между прямой АС и плоскостью. А В С D М Ответ: 60º 6. Через большее основание прямоугольной трапеции проведена плоскость, составляющая с большей боковой стороной угол в 30º. Меньшее основание отстоит от плоскости на расстояние 8см. Найти периметр трапеции, если известно, что внеё можно вписать окружность, и острый угол равен 60º. А В С D C1 E Ответ: 32 + 16 3

Разработка представляет поурочное объяснение средствами мултимедиа темы под общим названием "Перепендикуляр и наклонная" и включает несколько разделов: понятие перпендикуляра и наклонной, свойства наклонных и их и проекций, прямоугольная проекция фигуры на плоскость, расстояние между паралелльными плоскостями, определение расстояния от точки до прямой, от прямой,паралелльной плоскости до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми, теорема о трех перпендикулярах, угол между прямой и плоскостью.

Рассматриваются различные примеры и задачи по теме, устные упражнения на закреплления понятий, разбираются решения сложных задач по рисункам.