Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления

Двое у доски готовят домашнее задание, параллельно идет устный опрос по вопросам:

1) Проверка домашнего задания:

1710 = 16 + 1 = 2 + 2 = 100012

24310 = 128 + 64 + 32 + 16 + 2 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 111100112

Какие цифры используются в двоичной и десятичной системах счисления?
Какое число является основанием двоичной системы счисления?
Как записывается число 2 в двоичной системе счисления? Почему?
В чем состоит метод разностей?

3. Объяснение нового материала.

На прошлом уроке мы с вами рассмотрели один из способов перевода чисел из десятичной в двоичную систему счисления - метод разностей. Существуют и другие, более эффективные способы. Рассмотрим один из них – метод деления.

Рассмотрим перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления.

Пусть Ац = а n-1 х 2 n-1 +. + а 1 х 2 1 + а 0 х 2 0

- поделим Ац на 2, тогда неполное частное будет а n-1 х 2 n-1 + … +а1 ,а остаток а0

- полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет а1 и т.д.

- на n-м шаге получим набор остатков а 0, а 1, а 2, . а n-1, которые входят в двоичное представление числа Ац и совпадают с остатками от последовательного деления данного числа на 2. Но мы получим их в обратном порядке. Нужно только переписать их .

Пример 1. Перевести число 11 из десятичной системы счисления в двоичную систему.

Соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы и получим число в двоичной системе счисления:

Сравним полученный результат по таблице, которую записали на прошлом уроке.

Пример 2. Если десятичное число достаточно большое, то можно применить следующий вид записи:

соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы и получим число в двоичной системе счисления

Рассмотрим перевод правильной десятичной дроби в двоичную систему счисления.

Пусть Ац - правильная десятичная дробь ,тогда его можно записать в виде:

Если Адр умножить на 2 , то в правой части получим а -1 + а -2 х 2 -1 + а-3 х 2 -2 +.

где а-1 - целая часть, она и даст нам старший коэффициент в разложении числа Адр по степеням 2. Оставшуюся дробную часть снова умножим на 2 и получим а -2 + а-3 х 2 -1 +. , где а-2 - второй коэффициент после запятой в двоичном представлении числа. Процесс продолжить до тех пор, пока в правой части не получим 0 или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

0,112 = 1 х 2 -1 + 1 х 2 -2 = 0,5 + 0,25 = 0,7510

Этот процесс может продолжаться бесконечно, его обрывают на том шаге, когда считают, что получена требуемая точность.

А если число смешанное? Тогда нужно отдельно перевести целую часть и отдельно - дробную.

Пример 5. Перевести число 15, 2510

последовательно выполнять деление целого десятичного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получится частное, меньшее 2;
записать полученные остатки в обратной последовательности.

последовательно выполнять умножение десятичной дроби и получаемых дробных частей произведения на 2 до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность;
записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

перевести целую часть;
перевести дробную часть;
сложить полученные результаты.

4. Закрепление изученного материала.

Самостоятельная работа по карточкам (б – с точностью до трех знаков после запятой):

Перевести число из десятичной системы