Взаимосвязь между интегрированием и дифференцированием

Производная неопределенного интеграла. Первая основная теорема математического анализа Сейчас мы обсудим удивительную взаимосвязь, которая существует между интегрированием и дифференцированием. Связь между этими двумя действиями аналогична в какой-то мере связи между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Если мы возведем положительное число в квадрат и затем возьмем положительное значение квадратного корня, то в результате опять получим исходное число. Аналогичным образом, если мы возьмем неопределенный интеграл от некоторой непрерывной функции f, мы получим новую функцию, производная которой даст нам опять исходную функцию f. Например, если f(x) = x 2 , то неопределенный интеграл A(x) определяется следующим образом $A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_c^x t^2 \ dt = \frac - \frac,$где c - константа интегрирования. Дифференцируя эту функцию, мы получаем A'(x) = x 2 = f(x). Этот пример - хорошая иллюстрация важной теоремы, лежащей в основе математического анализа. Она формулируется следующим образом:

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу

Пусть функция f интегрируема на [a, x] для любого x на промежутке [a, b]. Пусть c удовлетворяет условию a ≤ c ≤ b . Определим новую функцию A следующим образом: $A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt, \qquad \qquad a \leq x \leq b$ Тогда A'(x) существует в каждой точке x из открытого интервала (a, b), где f непрерывна, и для таких x мы имеем (5.1) A'(x) = f(x). Сначала приведем геометрическую иллюстрацию истинности этой теоремы, а затем проведем строгое аналитическое доказательство.

Геометрическая иллюстрация. На рисунке 5.1 изображен график функции f на промежутке [a, b]. Здесь h положительно, и $\int\limits_x^ f(t) \ dt = \int\limits_c^ f(t) \ dt - \int\limits_c^x f(t) \ dt = A(x+h) - A(x)$ Здесь функция непрерывна на интервале [x, x + h]. Следовательно, по теореме о среднем значении для интегралов, получим A(x + h) - A(x) = hf(Z), где x ≤ z ≤ x + h.Следовательно, (5.2) [A(x + h) - A(x)]/h = f(z),

Поскольку x ≤ z ≤ x + h, получаем, что f(z) → f(x) когда h → 0 для всех положительных значений. Аналогичные рассуждения справедливы, если h → 0 для всех отрицательных значений. Следовательно, A'(x) существует и равно f (x). Эти рассуждения предполагали, что функция f непрерывна в некоторой окрестности точки x. Однако формулировка теоремы требует непрерывности только в точке x. Следовательно, для доказательства теоремы при этом, более слабом, условии, мы должны использовать иной метод.

Аналитическое доказательство. Пусть функция непрерывна в точке x. В этой точке определим следующее выражение [A(x + h) - A(x)]/hДля доказательства теоремы необходимо доказать, что это выражение стремится к пределу f(x), когда h → 0. Числитель этого выражения имеет вид: $A(x+h) - A(x) = \int\limits_c^ f(t) \ dt - \int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_x^ f(t) \ dt.$ Если в последний интеграл подставить выражение f(t) =f(x) + [f(t) -f(x)] , получаем откуда находим(5.3) $\frac = f(x) + \frac \int\limits_x^ [f(t) - f(x)] \ dt $ Следовательно, для завершения доказательства (5.1) нужно доказать, что $\lim\limits_ \ \frac \int\limits_x^ [f(t) - f(x)] \ dt = 0$ Эта часть доказательства использует условие непрерывности в точке x. Обозначим второе слагаемое в правой части (5.3) через G(h). Необходимо доказать, что G(h) -f 0 когда h --f 0. Используя определение предела, мы должны показать, что для дюбого ε > 0 существует δ > 0 такое, что (5.4) |G(h)| n + 1 )/(n + 1) имеет производную P'(x) = x n , если n - любое неотрицательное целое число. Поскольку это справедливо для всех действительных x, используем (5.8), чтобы записать $\int \limits_a^b x^n \ dx = P(b) - P(a) = \frac$ для всех интервалов [a, b]. Эта формула, доказанная для всех целых n ≥ 0, также справедлива для всех отрицательных целых значений, кроме n = -1. Это значение исключается, поскольку n + 1 расположено в знаменателе. Чтобы доказать (5.9) для отрицательных n, достаточно показать, что из (5.10) следует P'(x) = xn, когда n отрицательно и не равно - 1. Это легко подтверждается дифференцированием P как степенной функции. Безусловно, когда n отрицательно, и P(x), и P'(x) не определены при x = 0, и когда мы используем (5.9) для отрицательных n, важно исключить те интервалы [a, b], которые содержат точку x = 0.Результат из примера 3 в главе 4.5 позволяет распространить (5.9) на все рациональные показатели степени (кроме -l) с условием, что подынтегральная функция определена везде на рассматриваемом интервале [a, b]. Например, если 0 c для любого действительного показателя c. Мы покажем, что эта функция имеет производную f'(x) = cx c - 1 и первообразную P(x) = x c + 1 /(с + 1)б если c ≠ - 1. Это позволит нам распространить (5.9) на все действительные показатели, кроме - 1. Отметим, что мы не можем получить P'(x) = 1/x дифференцированием функции вида P(x) = x n . Тем не менее, существует функция P, производная которой P'(x) = 1/x. Чтобы найти такую функцию, мы должны записать соответствующий неопределенный интеграл, например $P(x) = \int \limits_x^c \frac \ dt \qquad \qquad если \ x > 0$ Этот интеграл существует, поскольку подынтегральная функция монотонна. Функция, определенная таким образом, называется логарифмом или, точнее, натуральным логарифмом. Ее свойства подробно рассмотрены в главе 6.

ПРИМЕР 2. Интегрирование функций синуса и косинуса. Поскольку производной синуса является косинус, а производной косинуса - синус со знаком "-", вторая теорема дает нам следующее: $\int \limits_a^b \cos x \ dx = \sin x |_a^b = \sin b - \sin a \\ \int \limits_a^b \sin x \ dx = (-\cos x) |_a^b = \cos a - \cos b$ Эти формулы также были доказаны непосредственно из определения интеграла. Примеры формул интегрирования можно также получить из примеров 1 и 2 определением конечных сумм членов вида Ax'“, B sin x, C COS x, где A, B, C - константы.

Если функция f имеет непрерывную производную f' на открытом интервале Z, формула Ньютона-Лейбница говорит, что(5.11) $f(x) = f(c) + \int \limits_c^x f'(t) \ dt$ для любых точек x и c в Z. Эта формула, выражающая f через ее производную f', позволяет нам вывести свойства функции из свойств ее производной. Хотя следующие свойства и обсуждались ранее в главе 4, интересно видеть, что их можно получить как простое следствие уравнения (5.11). Пусть функция f' непрерывна и неотрицательна на I. Если x > c, то $\int \limits_c^x f'(t) \ dt \geq 0$ и, следовательно, f(x) ≥ f(c). Другими словами, если производная непрерывна и неотрицательна на Z, то функция возрастает на Z.В теореме 2.9 мы доказали, что неопределенный интеграл от возрастающей функции является выпуклым. Следовательно, если f' непрерывна и возрастает на I, уравнение (5.11) доказывает, что f - выпуклая на Z. Аналогично, f будет вогнутой на тех интервалах, где f' непрерывна и убывает.

Упражнения

В каждом из упражнений 1-10 найдите первообразную для f; то есть, найдите функцию P такую, что P'(x) = f(x), и используйте формулу Ньютона-Лейбница, чтобы оценить $\int \limits_a^b f'(x) \ dx$1. f(x) = 5x 3 . 6. f(x) = √ 2x + √ x/2 , x > 0.2. f(x) = 4x 4 - 12x. 7. f(x) = [2x 2 - 6x + 7]/2√ 2x , x > 0.3. f(x) = (x + 1)(x 3 - 2). 8. f(x) = 2x 1/3 - x -1/3 , x > 0.4. f(x) =[x 4 +x - 3]/x 3 , x ≠ 0. 9. f(x) = 3sinx + 2x 5 .5. f(x) = (1 + √ x ) 2 , x > 0. 10. f(x) = x 4/3 - 5cosx.

11. Докажите, что не существует полинома f, производная которого дается формулой f'(x) = 1/x.

12. Покажите, что $\int \limits_0^x |t| \ dt = \frac x |x|$ для всех действительных х.

13. Покажите, что $\int \limits_0^x (t + |t|)^2 \ dt = \frac (x + |x|)$ для всех действительных x.

14. Функция f непрерывна везде и удовлетворяет уравнению $\int \limits_0^x f(t) \ dt = -\frac + x^2 + x\sin 2x + \frac \cos 2x$для всех x. Вычислите f(π/4) и f'(π/4).

15. Найдите функцию f и значение константы c такие, что$\int \limits_c^x f(t) \ dt = \cos x - \frac$ для всех действительных x.

16. Найдите функцию f и значение константы c такие, что$\int \limits_c^x tf(t) \ dt = \sin x - x\cos x - \fracx^2$ для всех действительных x.

17. Пусть функция f непрерывна, определена на всех действительных x, и удовлетворяет уравнению$\int \limits_0^x f(t) \ dt = \int \limits_x^1 t^2f(t) \ dt + \frac + \frac +c$ где c - константа. Найдите явную формулу для f (x) и значение константы c.

18. Функция f определена для всех действительных x по формуле$f(x) = 3 + \int \limits_0^1 \frac dt$Без вычисления интеграла найдите квадратичный полином p(x) = a + bx + cx 2 такой, что p(0) = f(0), p'(0) =f'(0), и p''(0) =f''(0).

19. Дана функция g непрерывная везде и такая, что g( 1) = 5 и $\int \limits_0^1 g(t) \ dt = 2$. Пусть f(x) = $\frac \int \limits_0^x (x-t)^2 g(t) \ dt$. Докажите,что$f'(x) = x \int \limits_0^x g(t) \ dt - \int \limits_0^x tg(t) \ dt$и вычислите f''( 1) и f'''( 1).

20. Без вычисления следующих неопределенных интегралов найдите производную f'(x), если f(x) равна$\int \limits_0^ (1+t^2)^ \ dt$.

21. Без вычисления интеграла найдите f'(x), если f задана формулой$f(X) = \int \limits_^ \frac dt$

22. Вычислите f(2), если f непрерывна и удовлетворяет следующему условию для всех x ≥ 0:$\int \limits_0^ t^2 \ dt = x^2 (1+x)$

23. Основание твердого тела - множество ординат неотрицательной функции f' на интервале [0, a]. Все поперечные сечения, перпендикулярные этому интервалу - квадраты. Объем этого тела равен a 3 - 2acosa + (2 - a 2 )sinaдля любого a ≥ 0. Предположите, что f непрерывна на [0, a], и вычислите f(a).

24. Механизм толкает частицу вдоль прямой линии. Он устроен так, что смещение частицы в момент времени t относительно начальной точки 0 на линии выражается формулой f(t) = t 2 /2 + 2tsint. Механизм работал идеально до момента времени t = π , когда случилась поломка. После этого частица движется с постоянной скоростью (ее скоростью в момент времени t = π). Вычислите следующее: (a) ее скорость в момент времени t = π; (b) ее ускорение в момент времени t = π/2; (c) ее ускорение в момент времени t = 3π/2; (d) ее перемещение от 0 до t = 5π/2. (e) Найдите то время t > π, когда частица вернется в начальную точку 0, или докажите, что она никогда не вернется в 0.

25. Частица движется вдоль прямой линии. Ее координата задается функцией f(t). Когда 0 ≤ t ≤ 1, ее координата дается интегралом$f(t) = \int \limits_0^t \frac dx$(не пытайтесь вычислить этот интеграл.) Когда t ≤ 1,частица движется с постоянным ускорением (ее ускорением на момент времени t = 1). Вычислите следующее: (a) ее ускорение в момент времени t = 2; (b) ее скорость в момент времени t = 1; (c) ее скорость для t > 1; (d) разность f(t) -f(l), когда t > 1.

26. Для каждого варианта найдите функцию f с непрерывной второй производной f'', которая удовлетворяет всем заданным условиям, или покажите, почему такая функция не существует:(a) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'(1) = 0.(b) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'( 1) = 3.(c) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x > 0.(d) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x