геометрия - Разделить угол n град. на 3 равных угла с помощью циркуля (школьная, но. ).

Нарисован угол $% \alpha, $% причем известно, что его величина равна целому числу градусов, т. е. $% \alpha=n \pi/180 $% град ($%n $%- натуральное). Требуется разделить нарисованный угол на 3 равных угла с помощью циркуля. При каких значениях $% n $% это удастся сделать?

Примечания.

О понимании алгоритма построения. Несмотря на широкое использование этого термина в литературе по построениям с помощью циркуля и/или линейки можно найти различные толкования деталей. При построении алгоритма для решения сформулированной задачи допускается использование функции проверки попадания построенной точки в заданный отрезок прямой и назначения последующих операций с учетом результата этой проверки.

Об исходной информации. Возможны следующие варианты условий: a) алгоритмом используется информация о величине нарисованного угла. b) алгоритмом используется информация лишь о том, что величина угла равна целому числу градусов, но это число неизвестно. c) алгоритму неизвестно, какую величину имеет нарисованный угол, он обрабатывает любой угол и выдает некоторый результат, но правильный результат выдает лишь для некоторых углов с целочисленной величиной в град.

В классе алгоритмов, оговоренных в примечании 1, различия в постановках a), b), c), для результата не существенны (можно убедиться на примере деления угла 54 град). В условии, подразумевается вариант информированности b).

задан 23 Дек '17 19:57

Я так понимаю, здесь всё должно следовать из ответа на вопрос о том, какие правильные m-угольники можно построить циркулем и линейкой. Это, с одной стороны, известно, а с другой, не слишком элементарно (даже для случая трисекции угла величиной 60 градусов). Подразумевалось ли Вами какое-то принципиально более простое решение? Есть ли тут специфика упоминания одного циркуля, без линейки? Вроде бы, одно заменимо на другое в силу теоремы Мора - Маскерони.

@falcao, из того, что требуется в задаче, для трисекции углов (допускающих это) построения весьма просты. Максимум сложности - это построение правильного 5-угольника (с линейкой или без - роли не играет). Затем несколько заставляет задуматься вопрос о пользе информации о значении угла, которое легко найти. Т. е. можно ли эту информацию как-то использовать для трисекции других углов (учитывая, что информация о целочисленности позволила делить некоторые углы)? Ответ, как мне представляется, можно получить весьма простым способом. Ваш комментарий в части трисекции угла 60 градусов меня озадачил..

@Urt: почему озадачил? Если угол в самом деле равен целому числу градусов, то случай 60 градусов сюда входит. А тогда невозможность его трисекции должна получаться из рассуждения как частный случай. Кстати, сам факт, что некий угол уже нарисован, здесь роли не играет, потому что угол величиной 60 градусов мы всегда имеем возможность нарисовать. Хотя в других случаях он как-то мог бы помочь. Ср. известную задачу построения угла в 1 градус, если дан угол 19 градусов.

@falcao, к трисекции угла 60 град у меня отношение отрицательное. Точнее,IMHO, в частности, этот угол (даже если известна его величина и он нарисован) не должен допускать трисекции. В задаче изначально величина угла неизвестна, но она может быть определена. Задачу 19->1 я где-то упустил, иначе использовал бы для доп. тестирования перспективных ученых (1=19-360/5/4), которые на вопрос "за счет чего спутник может висеть над одной точкой Земли", отвечают: "Ну там же есть какие-то молекулы. " При этом машут руками вверх, подгоняя поток.:).

@Urt: пока так и не удаётся прояснить суть дела. Невозможность трисекции угла величиной 60 градусов при помощи циркуля и линейки -- это "классика", но там используется факт, что синус или косинус угла п/9 является корнем кубического уравнения, а потому не принадлежит серии квадратичных расширений. Я к тому, что это всё хотя и известно, но требует какой-то теории и какой-то техники. А Ваша задача более общая, поэтому она вроде как не должна решаться проще, если я правильно понял суть условия.

@falcao, единственное, что в решении используется из высокой науки, так это теорема Гаусса-Ванцеля, из которой, в частности, вытекает невозможность трисекции угла 60 град. При этом для решения задачи требуется лишь применить эту теорему в одну сторону для подходящих углов и в другую - для неподходящих. Я написал "школьная", т. к. ученики в школе знакомятся с условиями деления круга на n равных частей.

Эту задачу выложил, чтобы 1) освежить вопрос по теореме Гаусса-Ванцеля и 2) показать, что вопросы о трисекции угла в разных постановках могут решаться по-разному.

@Urt: если разрешается использовать как готовую информацию о том, какие правильные n-угольники можно построить циркулем и линейкой, то это снимает все мои вопросы. В школьной программе этого всего, конечно, нет и близко, но если рассматривать статьи для школьников в "Кванте" и всё остальное, то такая постановка задачи совершенно правомерна. Я считаю, что о возможности ссылаться на этот результат лучше было сказать в самом условии задачи.

@falcao, теперь все прояснилось. Кроме того, я, наконец, осознал Вашу фразу относительно сложности трисекции угла 60 град. (сложность относил не к задаче, а к алгоритму, что меня и "озадачило").

@Urt: я сейчас немного подумал уже над самой задачей. Если угол строится, то аргументы привести достаточно легко. Например, для угла 27 градусов. А вот если не строится, то мне пока непонятно, как это доказывать. Например, если дан угол 3 градуса, то построить из него угол 1 градус вроде как нельзя, но обосновывать это простыми средствами я на данный момент не умею. Дан отрезок длиной sin(п/60); как доказать, что sin(п/180) не принадлежит полю, которое может быть получено серией квадратичных расширений? Там уже теория Галуа какая-то нужна.

@falcao, делением окружности $%(2\pi) $% на $%2^3\cdot 3\cdot 5$% получаем угол 3 град. Это мы умеем делать, но если бы мы построили алгоритм трисекции угла 3 или 6 град, то смогли бы построить угол 40 град и решить задачу построения правильного 9-уг-ка, что невозможно.

Далее, имея угол 3 град, измеряем нарисованный угол. Если он кратен 9 град, то его легко разделить на 3. Для остатка от деления на 9, равного 3 или 6, вопрос решается, как показано выше. В других случаях удобно рассмотреть величины углов по модулю 3 и строить на основе их трисекции углы 1 и 2 град, а затем 40 град.

@Urt: я почему-то считал "очевидным", что такой малюсенький угол как 3 градуса строиться не может (ведь он намного меньше, чем 20 градусов, который не строится :)) С учётом этого обстоятельства, всё стало понятно, по всей видимости, уже до конца.

@Urt: мне в какой-то момент показалось (после Вашего замечания), что тут всё уже прояснено. Но вот если нам дан угол величиной 1 градус, то как доказать, что с его помощью нельзя построить 1/3 градуса? Это как бы прежний вопрос, но с учётом того, что 3 градуса строятся.

@falcao, если есть способ деления угла 1 град, то на его основе из угла 3 град получаем угол 1 град. Три градуса у нас есть от Гаусса-Вранцеля, поэтому используя "найденный" способ, получим 1 град, а затем $%40^o$%.

Все-таки пока какое-то очень многошаховое доказательство невозможности у вас вышло

Если три много, то это многошаговое. 1-й шаг показываем, что для чисел, не кратных 9, алгоритм деления на 3 дает алгоритм деления для $%3^o$% или $%6^o$%. 2-й шаг - построение угла $%40^o$%. 3-й шаг - подумать, что это невозможно. А что вы хотите?

@Urt: вот этот момент мне пока не понятен. Если дан угол 1 градус, и я умею его делить на 3 равные части, то из каких соображений я должен уметь делить угол 3 градуса на три равные части? Это считается очевидным, или как-то "хитро" доказывается?