Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Практика приемных экзаменов в вузы показывает, что при решении тригонометрических уравнений абитуриенты нередко затрудняются как в выборе способа решения уравнения, так и при отборе его корней.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся корни решения или этого можно не делать?

С понятием пересечения множеств связан и еще один важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой или правой частях уравнения не определены. Такие значения надо исключить. Для этого надо уметь находить пересечение различных серий.

В предлагаемой работе на конкретных примерах рассматриваются различные способы и приемы при выборе ответа. Надеемся, что данная работа поможет учителям старших классов и самим учащимся при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.

1. Отбор чисел на тригонометрическом круге

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием, на наш взгляд, более наглядный и убедительный.

Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.

cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,

2sin x sin 2x – 2sin 2 x = 0,

2sin x (sin 2x – sin x) = 0,

Из рис. 1 видно, что серия x3(*) включает в себя один из корней серии x1( · ).

Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.

Серия x2(*) не удовлетворяет ОДЗ (рис. 2). Серия x1( o ) входит в серию x3( · ), поэтому ответ можно записать одной формулой:

sin 4x cos x + sin 2x cos 7x = 0,

sin 2x (2cos 2x cos x + cos 7x) = 0,

sin 2x (cos 3x + cos x + cos 7x) = 0,

sin 2x (cos 3x + 2cos 4x cos 3x) = 0,

sin 2x cos 3x (1 + 2cos 4x) = 0,

Объединяя все три серии корней, ответ можно записать так:

Пример 4. sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x.

– (cos 2x + cos 4x) + 1 + cos 6x = 0,

– 2cos 3x cos x + 2cos2 3x = 0,

cos 3x (cos 3x – cos x) = 0,

cos 3x sin 2x sin x = 0,

Серия корней x2 содержится в серии x1 и x3, в чем легко убедиться, изобразив их различными точками на круге, поэтому

Пример 5. sin x + sin 7x – cos 5x + cos (3x – 2 p ) = 0.

sin x + sin 7x – cos 5x + cos 3x = 0,

2sin 4x cos 3x + 2sin 4x sin x = 0,

sin 4x (cos 3x + sin x) = 0,

Серия x2 содержится в серии корней x1, а на круге (рис. 4) изобразим точками серии x1( · ) и x3(О), которые не совпадают.

Пример 6. ctg 2x + 2ctg x – tg 2x = sin 5x.

Учитывая ОДЗ, получим

Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет. Нанесем на тригонометрический круг (рис. 6) все числа серии и выбросим корни, удовлетворяющие условию

2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом

Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2 p .

Пример 8. sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 5x = 2.

cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos 10x = 0,

2cos 5x cos x + 2cos 9x cos x = 0,

cos x cos 2x cos 7x = 0.

«Период» серий равен p. Рассмотрим те корни из серий x1, x2, x3, которые попадают в промежуток [0; p ]. Это будут:

Сразу видно, что серия x1 содержится в серии x3, а серии x2 и x3 не пересекаются. Значит, ответ можно записать в виде .

Способ алгебраический. Общим знаменателем в сериях x1 и x2 будет 4:

Если x1 = x2, то 2 + 4k = 1 + 2l, но слева – четное число, а справа – нечетное. Равенство невозможно, серии x1 и x2 не пересекаются. Аналогично получаем, что серии х3 и х2 тоже не пересекаются, а вот для серий x1 и x3 получаются формулы

Из равенства 7 + 14k = 1 + 2m получаем m = 7k + 3. Это означает, что для всякого k найдется целое m такое, что будет выполняться равенство 7 + 14k = 1 + 2m, т. е. всякий корень из серии x1 встретится и в серии x3, поэтому серия x1 содержится в серии x3, и в ответе писать ее не надо.

При решении некоторых тригонометрических уравнений их заменяют эквивалентной системой уравнений, а затем находят пересечение множеств решений. Эти пересечения часто найти легко. Но иногда для нахождения решений необходимо решать диафантово уравнение (ax + by = c).

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдем такие целые k, при которых x = p + 2 p k имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x № 3 p n, n О Z. Пусть p + 2 p k = 3 p n; 1 + 2k = 3n. Отсюда n = 2m + 1 Ю k = 3m + 1. Итак, посторонние корни в серии x = p + 2 p k будет при k = 3m + 1, m О Z.

Пример 10. cos 7x (sin 5x – 1) = 0.

Пересекаются ли эти серии? Из равенства

следует 5k = 14n + 1. Выразим ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине:

Ответ можно записать в виде

Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе

Решением уравнения является пересечение серий x1 и x2, т. е. нам надо решить уравнение

Из него получаем уравнение, имеющее решение k = 8t, n = 3t.

Решением уравнения является пересечение серий x1 и x2;

где – целое число;

Ответ: x = 2 p + 8 p m, m О Z.

sin 2x sin 4x = sin x (sin 2x + sin 4x),

sin 2x sin 4x = 2sin x sin 3x cos x,

sin 2x sin 4x = sin 2x sin 3x,

sin 2x (sin 4x – sin 3x) = 0,

Остается проверить, лежат ли они в области x О R,

Серию x1 проверить легко: поскольку ,

а при n, кратных 8, n = 8l (l О Z), получается как раз x № 2 p l, вся серия x1 исключается. Сложнее обстоит дело с серией x2. Здесь надо выяснить, при каких целых k найдется такое n, что выполняется равенство ,

и исключить такие k. Последнее уравнение приводится к виду 8k + 4 = 7n, причем решать это уравнение надо в целых числах. Из него следует, что n = 4l, поскольку левая часть уравнения делится на 4. Подставляя n = 4l в уравнение, получаем 8k + 4 = 28l, откуда 2k + 1 = 7l. Далее, l должно быть нечетно, l = 2t + 1; поэтому 2k + 1 = 14t + 7, k = 7t + 3. Вот решение и получилось:

k = 7t + 3, n = 4l = 4(2t + 1) = 8t + 4.

3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями

Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.

Пример 14. Найти корни уравнения sin 2x = cos x | cos x |,