Решение качественных задач при изучении описательной статистики
Важное место в учебном процессе может занять решение качественных задач. Не требуя трудных вычислений, зачастую решаясь «в уме», они направлены на проверку усвоения внутренних законов изучаемого предмета. Быстрое и верное решение этого вида задач показывает, что ученик усвоил новое понятие не формально, что он способен оценить еще не вычисленный ответ, что он по-настоящему чувствует природу изучаемого понятия.
Эти задачи не требуют больших временных затрат на уроке, но они вносят в него разнообразие, оживляют работу, способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся. Решение качественных задач способствует достижению самых разнообразных дидактических целей: они позволяют менять ритм урока, могут быть предложены на разных этапах урока, они неявно содержат в себе элементы игры. Качественные задачи способствуют поддержанию интереса к изучению математики, побуждают учеников к творчеству.
Многие из таких задач предполагают два варианта ответа («да – нет», «может – не может», «верно – неверно»), и в решение таких задач включаются даже самые пассивные учащиеся. И наконец, возможность устного решения привлекательна для той категории учащихся, которые не любят или не умеют выполнять безошибочно (и порой громоздкие) вычисления. Хотя задачу, сначала решенную в уме, затем можно довести до ответа и подтвердить вычислениями высказанное предположение.
Известно, что многие ученики пасуют перед задачами, содержащими непривычную, нестандартную, неизбитую формулировку, совершают ошибки из-за того, что пропускают в тексте условия важные данные. Между тем умение вчитываться в любой текст, во-первых, необходимо тренировать, а во-вторых, имеет самостоятельную ценность, развивает гибкость мышления и его логическую составляющую. Для отработки этого умения среди предлагаемых ниже задач встречаются такие, у которых условия отличаются чуть-чуть. Найти это отличие, обратить на него внимание, оценить степень влияния этого изменения на конечный ответ – задача не из легких, но важных! К тому же тексты содержат вопросы, сформулированные в непривычной форме, и если систематически решать такие задачи, то учащиеся не только выучат новую тему, но и привыкнут ко всевозможным постановкам вопроса.
Качественные задачи в зависимости от их трудности могут быть предложены на разных этапах знакомства с учебным материалом. Они являются важным дополнением к традиционным задачам. Их можно решать как в ходе первичного закрепления, так и для обобщения целого раздела. Их целесообразно предлагать всему классу с тем, чтобы расставить акценты в изучаемой теме, выявить особенности изучаемого понятия, а также обратить внимание на нестандартное звучание вопроса. Качественные задачи являются крайне удобными для включения их в текст самостоятельных работ, математических диктантов, а также тестов, как с выбором варианта ответа, так и с записью ответа в краткой форме.
Наконец, вспомним о том, что умение графически представить себе условие, «нарисовать» его является весьма эффективным подспорьем при решении задач. Поэтому среди предложенных задач есть такие, которые направлены на отработку наглядного представления числового набора и его характеристик на координатной прямой. Это сделано с той целью, чтобы не только хорошо подготовленные ученики, но и впоследствии бóльшая часть класса с легкостью смогли представить себе ту часть координатной прямой, на которой сконцентрированы данные числа, и успешно решить задачу, опираясь на созданный мысленный образ. Не забудьте договориться, как отмечать на прямой совпадающие точки в наборе: либо отмечать точки друг над другом с одинаковым шагом, либо писать над точкой её вес (количество вхождений в набор).
Среднее арифметическое. Среднее взвешенное
1. Правильно ли записано выражение и проведены рассуждения для вычисления среднего арифметического:
а) Для набора чисел 3; 4; 5; 6; 7; 8 среднее арифметическое равно
б) Поскольку ноль не влияет на сумму чисел, стоящих в числителе, то для набора чисел среднее арифметическое также равно
в) Для набора чисел 3; 4; 5; 6; 7; 7 среднее арифметическое равно
так как число 7 в нем повторяется дважды.
2. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 100; 101; 102. Отметьте схематически данные числа на координатной прямой. Отметьте приблизительное местонахождение среднего арифметического. У какого набора среднее арифметическое больше?
3. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 3; 6; 12; 13. У какого набора среднее арифметическое больше? Обоснуйте свой результат с помощью координатной прямой.
4. Средняя отметка Наташи по математике равна 4, а у Сережи — 4,2.
а) Как могло получиться, что Сережино среднее значение получилось дробным числом, ведь отметки — это натуральные числа?
б) Можно ли утверждать, что Сережа никогда не получал по математике двоек?
в) Можно ли утверждать, что у Сережи по математике меньше троек, чем у Наташи?
г) Можно ли утверждать, что Наташа никогда не получала по математике «пять»?
5. Найдите среднее арифметическое чисел, изображенных на рисунке 1.
6. К набору 3; 4; 5 добавьте еще одно число так, чтобы его среднее арифметическое не изменилось. Возможно ли это? Сколько существует способов это сделать?
7. Изобразите на координатной прямой наборы из 2–3 чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
а) среднее арифметическое равно 4;
б) среднее арифметическое равно 0.
8. Верно ли каждое утверждение?
а) У любого набора существует среднее арифметическое.
б) Наименьшее число набора не может быть его средним арифметическим.
в) Среднее арифметическое разных чисел больше наименьшего числа.
9. На рисунке 2 изображен числовой набор. Найдите среднее арифметическое этого набора? Опишите словами его положение.
10. К набору 3; 3; 3 добавьте еще одно число так, чтобы новое среднее арифметическое стало больше исходного.
11. К набору 3; 3; 3 добавьте еще одно число так, чтобы новое среднее арифметическое стало равным 4. Возможно ли это?
12. Коля вычислил среднее арифметическое для набора чисел 6,37; 7,12; 8,32; 9,01 и получил число 11,43. Прав ли Коля? Проиллюстрируйте свои рассуждения на координатной прямой.
13. Найдите положение центра одинаковых масс, расположенных на координатной прямой в точках 4; 6; 11.
14. Имеются данные об успеваемости 7«А» и 7«Б» по геометрии: о количестве учащихся, получивших ту или иную четвертную отметку. Результаты занесены в таблицу: