Урок алгебры в 8-м классе. Тема: "Теорема Виета"

Так, пока они не знают основную формулу корней квадратного уравнения, вынуждены решать приведенное уравнение по выведенной с помощью выделения полного квадрата формуле (даже если коэффициенты при этом – дробные числа). Зато потом, когда, наконец, выводится основная формула, учащиеся могут осознанно выбрать, какую формулу удобно применить при решении того или иного уравнения и без труда воспользоваться ею. Обычно же дети “зацикливаются” на основной формуле и с нежеланием применяют другие (если учитель не настаивает, то и не будут применять удобные для того или иного случая формулы).

Продолжительность: два (спаренных) урока.

1) Общий вид квадратного уравнения …

2) Сколько корней может иметь квадратное уравнение? …

3) Как называются квадратные уравнения, если коэффициенты b или с равны нулю? …

4) Как называется квадратное уравнение вида х 2 + px + q = 0 ? Почему он так называется?

5) По какой формуле находятся корни приведенного квадратного уравнения? …

6) Что определяет количество корней квадратного уравнения? …

(1) Решая уравнение 9х 2 + 513х – 172 = 0, нашли, что оно имеет корни

Выясните, правильно ли решено уравнение.

(2) Докажите, что ни при каких целых значениях p, число 105 не может быть корнем уравнения

х 2 + p x – 32108 = 0.

(3) Решить уравнение: 1998 х 2 – 907 х + 1091 = 0.

(4) Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 + и 2 – .

(Eстественно, гимназисты не просто в затруднении, они в недоумении: как такие задания можно решить устно?)

Итак, перед нами стоит задача: дополнить уже известные сведения о квадратных уравнениях, установив зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

• как выполнить проверку найденных при решении квадратных уравнений корней ( 1 ), ( 2 );
• как находить в несложных случаях корни квадратного уравнения подбором ( 3 ).
• как составить квадратное уравнение по известным его корням ( 4 );

Карточка № 1 для одной пары:

2. Найдите х1 • х2 и х1 + х2 , если х1 и х2 – корни уравнения

Карточка № 2 для другой пары:

Докажите, что m и n – корни уравнения х 2 + px + q = 0.

На доске записаны четыре квадратных уравнения:

1) х 2 – 4х + 3 = 0;

2) 4х 2 + х – 3 = 0;

3) 3х 2 – 21х + 36 = 0;

4) х 2 + 7х – 10 = 0;

Гимназистам предлагается самостоятельно найти корни данных уравнений, и первый, кто

выполнил задание, выписывает рядом с уравнением найденные корни, их сумму и произведение.

После проверки правильности найденных корней, замечают (по просьбе учителя) закономерность в соотношении найденных корней и коэффициентов уравнения. А на вопрос, случайно ли такое совпадение, учитель просит ответить гимназистов, работавших с карточкой № 1.

1) х 2 + px + q = 0 – приведенное квадратное уравнение, корни его находим по формуле: .

• Это соотношение впервые заметил и доказал великий французский математик Франсуа Виет, поэтому утверждение носит название теоремы Виета, (информация о Виете).

(*) – Иллюстрацией того, что теорема справедлива не только для приведенных квадратных уравнений, но и для уравнений общего вида, являются второе и третье уравнение из предложенных в пункте IV: действительно,

p = и q = (а 0)

(*) – Следует обратить внимание учащихся на то, что теорема Виета справедлива и тогда, когда квадратное уравнение имеет один корень, просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.

После обсуждения и окончательной формулировки обратной теоремы к доске приглашается один из учеников, работавших с карточкой № 2. Он объясняет свое решение:

т.к. m; n; p; q такие, что m + n = – p, m • n = q, то х 2 – (m + n)х + mn = 0; х 2 - mx – nx + mn = 0;

определить знаки корней предложенных уравнений;
• если знаки различные, определить, модуль какого корня больше (положительного или отрицательного);
• постараться подобрать корни данных уравнений.

После устного обсуждения записать решение одного из уравнений. Затем учащиеся самстоятельно подбором находят корни уравнений, которые записаны на откидной доске:

2) х 2 – 10x + 21 = 0

5) х 2 – x – 42 = 0

8) х 2 – 7x – 12 = 0

(Задание выполняется учащимися самостоятельно с последующей проверкой,в тетради достаточно записать номер уравнения и найденные корни.)

В результате чего делается вывод в каком случае при решении задач применяется теорема Виета, а в каком – теорема обратная ей.

(Для иллюстрации рассматриваются задания п.VIII, которые предстоит решить.)

Составить квадратное уравнение, если известны его корни:

(*) – (а) и (б) – решение записывается на доске учеником, корректируется учителем.

(в) – (е) – решаются самостоятельно с последующей проверкой у доски.

Один из корней уравнения х 2 + px – 35 = 0 равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.