Различные виды уравнения прямой презентацию подготовила ученица 7 «Б» класса МОУ «Гимназия 1» Распарина Ольга. - презентация

Презентация 7 класса по предмету "Математика" на тему: "Различные виды уравнения прямой презентацию подготовила ученица 7 «Б» класса МОУ «Гимназия 1» Распарина Ольга.". Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Различные виды уравнения прямой презентацию подготовила ученица 7 «Б» класса МОУ «Гимназия 1» Распарина Ольга

2 Общее уравнение прямой Уравнение Ax+By+C=0 (где A, B и C могут принимать любые значения, лишь бы коэффициенты A, B не были равны нулю оба сразу) представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.

3 Ах+Ву+С=0 1) Если A=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Ох (у 1) Если A=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Ох (у= ). Пример 1. Графиком уравнения у=-10 является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;-10). Графиком уравнения у=-10 является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;-10). О -10 ху

4 Ах+Ву+С=0 2) Если В=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Оу (х= ).. Пример 2. Графиком уравнения х=6 является прямая, параллельная оси Оу и проходящая через точку (6;0). О 6ух

5 Ах+Ву+С=0 3) Когда В=0, то у= Уравнение у=кх+m, где к=,, а m= называется уравнением прямой с угловым коэффициентом к. 4) Если С=0, то есть уравнение Ах+Ву+С=0 не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат.

6 Ах+Ву+С=0 (у=, то есть у=кх – где к – угловой коэффициент прямой. Ясно, что к= где Х0 и У0 координаты произвольной точки прямой, Х0=0). х у у0у0у0у0 х0х0х0х

7 Пример 3. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Решение. Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением у=кх. Определим угловой коэффициент этой прямой. Возьмем к примеру точку А этой прямой, тогда к=, то есть к=. Значит, к=-2 и уравнение данной прямой имеет вид: у=-2х. 0 у х 1 1 А 2

8 Пример 4. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Данная прямая получена из прямой у=кх смещением последней на 3 ед. отрезка вверх вдоль оси Оу. Прямые у=кх и данная параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны. Определив угловой коэффициент прямой у=кх (к= ), получим, что угловой коэффициент данной прямой равен -2. А так как данная прямая пересекает ось Оу в точке с ординатой 3, то в уравнении данной прямой (у=кх+m), к=-2, m=3. Искомое уравнение имеет вид у= =-2х+3. у=кх у х А

9 Теоремы Уравнение изображенной прямой можно получить и иначе, если иметь ввиду следующие утверждения. Уравнение изображенной прямой можно получить и иначе, если иметь ввиду следующие утверждения. Теорема 1. Если прямая отсекает на осях отрезки а и в (не равные нулю), то ее можно представить уравнением =1. Если прямая отсекает на осях отрезки а и в (не равные нулю), то ее можно представить уравнением =1.

10 Теорема 2. Уравнение =1 представляет прямую, отсекающую на осях (считая от начала координат) отрезки а и в. Уравнение =1 представляет прямую, отсекающую на осях (считая от начала координат) отрезки а и в. Уравнение =1 называется уравнением прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0). Уравнение =1 называется уравнением прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0).

11 Вывод уравнения прямой в отрезках. Уравнение прямой в отрезках легко получается либо из общего уравнения прямой, либо из уравнения прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках легко получается либо из общего уравнения прямой, либо из уравнения прямой с угловым коэффициентом. Пусть у=кх+m – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Приведем его к виду =1. Пусть у=кх+m – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Приведем его к виду =1.

12 у=кх+m Для этого перенесем слагаемое кх в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный и разделим обе части полученного равенства на m. Получим следующее уравнение =1. Перепишем это уравнение в виде =1. Для этого перенесем слагаемое кх в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный и разделим обе части полученного равенства на m. Получим следующее уравнение =1. Перепишем это уравнение в виде =1. Учтем, что =. Следовательно, =. Обозначив буквой «а», а m – буквой «в» получим искомое уравнение прямой в отрезках =1. Учтем, что =. Следовательно, =. Обозначив буквой «а», а m – буквой «в» получим искомое уравнение прямой в отрезках =1.

13 Рассмотрим следующий пример Пример 5. Пример 5. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Решение. Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно записать так:1) =1 или =1. Из последнего уравнения можно получить уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно записать так:1) =1 или =1. Из последнего уравнения можно получить уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой с угловым коэффициентом. у х

14 Пример 5. 2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0. 2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0. 3) =1. = 1 2. у= -2. 3) =1. = 1 2. у= -2. В ответе можно записать любое из уравнений 1), 2) или 3). В ответе можно записать любое из уравнений 1), 2) или 3). Кроме того, уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на чертеже. Кроме того, уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на чертеже.

15 Уравнение прямой, проходящей через две точки. Теперь, допустим, нужно записать уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для решения этой задачи надо составить и решить систему уравнений Теперь, допустим, нужно записать уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для решения этой задачи надо составить и решить систему уравнений относительно к и m, где х 1 =1, у 1 =-2, относительно к и m, где х 1 =1, у 1 =-2, х 2 =-1, у 2 =4. И, найдя значения к и m, подставить их в уравнение у=кх+m. Всякий раз решать подобные задачи таким способом довольно-таки нерационально. х 2 =-1, у 2 =4. И, найдя значения к и m, подставить их в уравнение у=кх+m. Всякий раз решать подобные задачи таким способом довольно-таки нерационально. у 2 =кх 2 +m. у 1 =кх 1 +m,

16 Решим эту задачу в общем виде. Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ) такие, что х 1 =х 2, у 1 =у 2. Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ) такие, что х 1 =х 2, у 1 =у 2. Так как прямая проходит через эти точки, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой у=кх+m. Так как прямая проходит через эти точки, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой у=кх+m.

17 Решим эту задачу в общем виде. Решим систему уравнений Решим систему уравнений относительно к и m. Найдя относительно к и m. Найдя значения к и m, подставим их в уравнение у=кх+m. Итак, значения к и m, подставим их в уравнение у=кх+m. Итак, Уравнение прямой примет вид: у= х+у 1 - х 1. Уравнение прямой примет вид: у= х+у 1 - х 1. у 2 =кх 2 +m. у 1 =кх 1 +m, m=у 1 -кх 1, у 2 =кх 2 +у 1 -кх 1. m=у 1 -кх 1, у 2 =кх 2 +m. у 1 =кх 1 +m, к=. (у 2 -у 1 )=к (х 2 -х 1 ). m=у 1 -кх 1, m=у 1 - х 1, к=.

18 Преобразуем его у-у 1 = х- х 1, у-у 1 = х- х 1, у-у 1 = (х-х 1 ). у-у 1 = (х-х 1 ). (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=(у 2 -у 1 ) (х-х 1 ) (х 2 -х 1 ) (у 2 -у 1 ), (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=(у 2 -у 1 ) (х-х 1 ) (х 2 -х 1 ) (у 2 -у 1 ), Мы получили уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ), причем х 1 =х 2, у 1 =у 2. Мы получили уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ), причем х 1 =х 2, у 1 =у 2.

19 (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=(у 2 -у 1 ) (х-х 1 ) А что если х 2 =х 1 (при условии, что у 2 =у 1 ) или у 2 =у 1 (при условии, что х 2 =х 1 )? А что если х 2 =х 1 (при условии, что у 2 =у 1 ) или у 2 =у 1 (при условии, что х 2 =х 1 )? В этом случае уравнение ( ) будет выглядеть так: (у 2 - (у 2 -у 1 ) (х-х 1 )=0 или (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=0. Откуда получим уравнения: х=х 1 или у=у 1. То есть уравнения прямых, параллельных координатным осям.

20 В первом случае – уравнение прямой, параллельной оси Оу, а во втором случае – уравнение прямой, параллельной оси Ох. В первом случае – уравнение прямой, параллельной оси Оу, а во втором случае – уравнение прямой, параллельной оси Ох. О 1 1 у О 1 1 х ухх

21 Пример 6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) и В (-1;4). Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) и В (-1;4).Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две различные точки. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две различные точки. Перепишем его в виде Перепишем его в виде Теперь подставим в него координаты данных точек: Теперь подставим в него координаты данных точек: Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и В (-1;4). Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и В (-1;4). Ответ: у=-3х+1 Ответ: у=-3х+1 (-6)-3(х-1)=у+2.у=-3х+1.

22 Рассмотрим задачу: «Лежат ли точки А 1 (-2;5), А 2 (4;3), А 3 (16;-1) на одной прямой?». «Лежат ли точки А 1 (-2;5), А 2 (4;3), А 3 (16;-1) на одной прямой?». Решить ее можно так: Решить ее можно так: 1) Составить уравнение прямой, проходящей, например, через точки А 1 и А 2. 1) Составить уравнение прямой, проходящей, например, через точки А 1 и А 2. 2) Подставить координаты точки А 3 в полученное уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли точка А 3 прямой, проходящей через точки А 1 и А 2. 2) Подставить координаты точки А 3 в полученное уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли точка А 3 прямой, проходящей через точки А 1 и А 2.

23 Итак: «Лежат ли точки А1 (-2;5), А2 (4;3), А3 (16;-1) на одной прямой?» Использование уравнения прямой, проходящей через две различные точки, значительно сокращает процесс поиска решения данной задачи. Положив в уравнении х=х 3, у=у 3 и, подставив координаты данных точек в равенство, Использование уравнения прямой, проходящей через две различные точки, значительно сокращает процесс поиска решения данной задачи. Положив в уравнении х=х 3, у=у 3 и, подставив координаты данных точек в равенство, получим:. Полученное равенство верное, следовательно, точки А 1, А 2 и А 3 лежат на одной прямой. получим:. Полученное равенство верное, следовательно, точки А 1, А 2 и А 3 лежат на одной прямой. Итак, использование различных видов уравнений прямой позволяет рационализировать поиск решения ряда задач. Итак, использование различных видов уравнений прямой позволяет рационализировать поиск решения ряда задач.