ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

1 ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих через точку P(-5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7) и B(11-15) Стороны треугольника лежат на прямых AB : x + 5 y 7 BC : x y 4 AC : 7 x + y + 19 Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы проведенных из вершины A 4 Построить плоскости: a) x + y 6z + 6 б) x y + z в) y z + 4 г) x y 5 Из точки P(-1-14) опущен на плоскость перпендикуляр Его основание - точка Q(1) Составить уравнение этой плоскости 6 Составить уравнение плоскости проходящей через прямую x = 1+ t y z = t + t и точку M(-1) 7 Найти расстояние от точки P(1-1-) до прямой x y + y 8 8 Найти угол между прямой 4x + y + 5 y + z + 4 и плоскостью 4 x y 6z 5 9 При каких значениях m прямая y = 5x + m 1) пересекает гиперболу x y = ; ) касается ее; ) проходит вне этой гиперболы 10 Уравнения линий привести к каноническому виду Построить линии а) x + y + 4x 6y + 1 б) x + 5 y 50y + 4 в) 5 x 4 y + 10x 15 г) 11 Изобразить линии: x x 6y 17 а) y = 5 x б) y = x 5 в) y = x x г) ρ = 5 1 cosϕ 1 Построить тело ограниченное поверхностями: а) x + y = a y + z = b ( b > a) x y z б) x + y + z = 8 x + y = 8 4 x + y = 8 y z

2 ВАРИАНТ 1 1 Даны точки A ( ) B ( 5) Через середину отрезка AB провести прямую перпендикулярную к AB Найти ее угловой коэффициент Дано уравнение одной из сторон квадрата x + y 7 и точка пересечения его диагоналей P ( 0 ) Найти уравнения трех остальных сторон этого квадрата Через точку пересечения прямых x 5y и x + 4 y 7 провести прямую делящую отрезок между точками A ( 4 ) и B ( ) в отношении λ = Решить задачу не вычисляя координат точки пересечения прямых 4 Построить плоскости: a) x y + z б) x y + z в) x + z 4 г) x y 5 Найти плоскость проходящую через точку A(5) и отсекающую на осях координат равные положительные отрезки 6 Доказать что прямые x y + z 5 x = 7 + t = = и y = + t 4 z = 1 t лежат в одной плоскости Составить уравнение этой плоскости 7 Доказать что прямые x + y z 0 x + 7 y 5 z 9 и = = y z 4 параллельны и найти расстояние между ними 8 При каких m и l пара уравнений x + ly + z 5 и mx 6 y 6z + будет определять параллельные плоскости Найти расстояние между плоскостями 9 Написать уравнение параболы зная что парабола симметрична относительно оси Ox проходит через точку A(-6) и начало координат Построить 10 Уравнения линий привести к каноническому виду Построить линии: а) x + y 8x y + 1 б) x + 9 y x 6y + 8 в) 4 x 5 y 8x 16 г) y + y 4x Изобразить линии: а) y 5 4 x б) x = y в) x = 1+ y + 4y + 5 г) ρ = 0sinϕ 1 Построить тело ограниченное поверхностями: а) x + y = a y + z = a z x + y = b ( a > b) = 5 б) x y = z x z

3 ВАРИАНТ 1 1 Даны вершины треугольника: A ( 1 ) B (0 ) C (11 ) Через каждую из них провести прямую параллельную противоположной стороне Даны уравнения двух сторон прямоугольника x y + 15 x y и уравнение одной из его диагоналей 7 x + y 5 Найти вершины прямоугольника Проверить что четырехугольник ABCD с вершинами A ( ) B ( ) C (5; 5 ) и D(1) является трапецией Составить уравнение средней линии диагоналей и высот этой трапеции 4 Построить плоскости: a) x + y z 5 б) x + y + z в) x y 6 г) y z 5 Составить уравнение плоскости проходящей через точки M 1 ( 1) и M (1) параллельно вектору a = < 4 >6 Составить уравнение плоскости проходящей через две параллельные x y z + (доказать!) прямые = = и y + z y 7 7 Вычислить расстояние от точки P ( ) до прямой x y 0 y + z При каком m прямая x + y z + 6 параллельна плоскости + y z x + y + mz 4? 9 Найти полуоси координаты вершин фокусов и эксцентриситет эллипса 9x + 5y = 5 Построить 10 Уравнения линий привести к каноническому виду Построить линии: а) x + y + x 8y + 8 б) 4 x + y + 4y в) x 9 y + x 6y 44 г) 11 Изобразить линии: x 8x + y + а) y = 1 x 9 б) y = 4x 1 в) y = + x + 8x 5 г) ρ = cosϕ 1 Построить тело ограниченное поверхностями: а) x + y = a x + y = b ( a > b) y z = a z б) x + y = a x + y + ( z b) = a ( a < b) z

4 ВАРИАНТ 14 1 Найти расстояние между параллельными прямыми 4 x 8y + 15 и x 6y + 5 Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD : A( 1) и B() Точка K(0) точка пересечения его диагоналей Составить уравнения сторон Составить уравнение прямой проходящей через точку пересечения прямых x 5y 7 x + 7y + 4 и а) перпендикулярно к 5 x 5y 6 ; б) параллельно оси Ox ; в) через начало координат 4 Построить плоскости: a) x + y z б) 6x y + z в) 5x + z + 10 г) x y 5 Составить уравнение плоскости проходящей через точки A(51) и B(778) и отсекающей на осях Ox и Oy равные отрезки 6 Найти точку Q симметричную P( 4 6) относительно плоскости x y 4 z 7 Найти расстояние между двумя параллельными прямыми x y + 1 z x 7 y z = = и = = Найти угол между прямыми x + y z x y 9z и x + y + z + 5 x y z + 9 Определить координаты точек пересечения прямой 7 x y + 1 и окружности ( x ) + ( y ) = 5 Построить 10 Уравнения линий привести к каноническому виду Построить линии: а) x + y 8y + 1 б) x + y + 18x 4y + в) x y + 6x + 4y + 1 г) y + 4x + 6y Изобразить линии: а) y = 5 x б) y = 5x 4 в) y 1 x 1 = 6x г) ρ = 5 cosϕ 1 Построить тело ограниченное поверхностями: а) z a = ( x + y ) z = b ( a > 0 b > 0) x y + a б) x y = ax x + y + z = z

5 ВАРИАНТ 15 1 Через точку P (1 ) провести прямую отсекающую равные отрезки на осях координат Проверить лежат ли на одной прямой три данные точки: M 1 (05) M (1) M ( 17) Если лежат то записать уравнение этой прямой; если не лежат то найти расстояние от точки M 1 до прямой проходящей через точки и M M Даны уравнения сторон треугольника: x + 4y x 7 y 7 7 x + y + 1 Доказать что он равнобедренный 4 Построить плоскости: a) x y + z 1 б) x + y + z в) y + z 1 г) x + y 5 Составить уравнение плоскости которая проходит через две точки M 1(1 1 ) и M (11) перпендикулярно к плоскости x y + z 5 6 Составить уравнение плоскости проходящей через прямую x y z = = параллельно прямой x y + z + y z 5 7 Одна из граней куба лежит на плоскости x + y z + 9 одна из вершин - начало координат Вычислить объем куба 8 При каких значениях A и B плоскость Ax + By + z 5 перпендикулярна к прямой x = + t y = 5 t z = t 9 Определить точки пересечения прямой x + 4y и параболы y = 9x Построить 10 Уравнения линий привести к каноническому виду Построить линии: а) x + y + 4x + 6y 1 б) 5 x + y 10x + 1y + в) x 4 y 4x 8y 4 г) 11 Изобразить линии: а) y = 05 x 16 б) x = 8y x 4x 6y 14 в) x = 9 y г) ρ = cosϕ 1 Построить тело ограниченное поверхностями: а) z a = ( x + y ) z = b ( b < a) x y z (I октант) б) x + y + z = 8 x = 4 y = 4 x y z