Набор основных текстовых задач для самостоятельного изучения и решения учащимися
1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Ответ: 1-го раствора 150 г, 2-го раствора было взято 450 г.
2. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 л 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в литрах было использовано?
3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 10% и 40%. Сколько нужно взять каждой стали, чтобы получить 150 г стали с содержанием 20%?
4. Имеются два сплава чугуна с никелем с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять металла каждого из этих двух сортов, чтобы получить 140 г нового сплава с содержанием 30% никеля?
5. Имеется лом стали двух сортов, причём первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием 25%?
6.* Смешивается некоторое количество 72%-ного раствора кислоты и некоторое количество 58%-ного раствора кислоты и в результате получается 62%-ный раствор. Если бы каждого раствора было взято на 15л больше, то получился бы 63,25%-ный раствор. Сколько литров каждого было взято первоначально для составления первой смеси?
7. Имеется два сплава меди с цинком. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 1 : 2, в другом – 2 : 3. Сколько необходимо взять от каждого сплава, чтобы получить 19 кг нового сплава, в котором количество меди и цинка относится как 7 : 12?
Решение (один из способов):
Пояснения к таблице:
Пусть, чтобы получить 19 кг нового сплава нужно взять х кг первого сплава, а второго у кг. Тогда получим уравнение х + у = 19. Так как в первом сплаве отношение меди к цинку 1 : 2, то в первом сплаве кг меди и кг цинка. Так как во втором сплаве отношение меди к цинку 2 : 3, то во втором сплаве кг меди и кг цинка. Значит в новом сплаве всего меди кг, а цинка кг и так как по условию задачи в новом сплаве отношение меди к цинку 7 : 12, то получаем уравнение: , упростим его( умножим числитель и знаменатель левой части уравнения на 15) и получим .
Применяя основное свойство пропорции уравнение примет вид: 12 . (5х + 6у) = 7 . (10х + 9у) <=> 9у = 10х и используя, что х+ у = 19, решим систему уравнений
Ответ: 1-го 9 кг, 2-го 10 кг.
8. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом – в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11?
9. В двух различных сплавах медь и цинк относятся соответственно как 5 : 2 и 3 : 4. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?
10. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в два раза больше, чем цинка, а во втором в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в раза больше, чем меди?
Покажем, что эту задачу можно представить и решить, как три предыдущие задачи. Пусть нужно согласно условию задачи взять х кг первого сплава и у кг второго сплава. Так как в первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, то значит отношение меди к цинку в этом сплаве 2 : 1 и поэтому меди в первом сплаве кг, цинка кг. Так как во втором сплаве меди в 5 раз меньше, чем цинка, то отношение меди к цинку во втором сплаве 1 : 5 и меди в килограммах , цинка кг.
Составим аналогичную таблицу к решению этой задачи:
Тогда в новом сплаве меди кг, цинка кг. По условию задачи цинка в новом сплаве должно быть в 2 раза, то есть отношение меди к цинку1 : 2, получаем уравнение: . Умножим числитель и знаменатель левой части уравнения на 6, получим . Далее применяя свойство пропорции имеем 8х + 2у = 2х + 5у, 6х = 3у => у = 2х
Ответ: в 2 раза больше надо взять второго сплава.
11. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60 % меди?
Сначала узнаем, сколько первоначально в сплаве меди. 36 . 0,45 = 16,2 кг меди. Пусть добавили х кг меди. Тогда масса нового сплава ( 36 + х) кг – 100%, а масса меди в новом сплаве тогда (16,2 + х) кг – 60% Получаем пропорцию <=> <=> 5(16,2 + х) = 3(36 + х) откуда х = 13,5 кг.
Ответ: 13,5 кг
12. Сплав олова с медью весом в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?
12 . 0,45 = 5,4 кг меди в сплаве. Пусть х кг олова надо добавить, тогда
масса всего сплава будет (12 + х) кг -----100% масса меди после добавления олова 5,4 кг ----- 40%, получаем пропорцию , решив которую находим, что х = 1,5 кг
Ответ: 1,5 кг
13. Морская вода содержит 8% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?
14. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием воды 75%?
15. Имеется 100 г сплава, содержащего золота и серебра в отношении 1 : 4. Сколько грамм золота надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 60% золота?
16. Имеется 200 г сплава, содержащего золота и серебра в отношении 2 : 3. Сколько граммов серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 80 % серебра?
17. В 2 литра 10%-ного раствора уксусной кислоты добавили 8 л чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе?