Альтернативные методы решения геометрических задач. Трапеция.

Альтернативные методы решения геометрических задач. Трапеция.

Анализ представленных результатов и изучение опыта работы школы позволяют сделать некоторые выводы относительно состояния подготовки выпускников по курсу планиметрии:

– несмотря на некоторое повышение показателей за последние годы, общая тенденция низких результатов выполнения планиметрических задач не изменилась и, как и раньше, говорит о весьма слабой подготовке по планиметрии значительной части выпускников;

– небольшое повышение результатов, скорее всего, объясняется тем, что хотя и медленно, но все-таки ощутимо в практике работы школ усиливается внимание к геометрической подготовке выпускников. Особенно это проявляется среди более подготовленных учащихся.

Представленный мною материал окажет помощь при подготовке учащихся к ОГЭ в 9 классе и ЕГЭ в 11 классе по математике. Интересные свойства равнобедренной трапеции позволяют сэкономить время на экзамене и в значительной мере расширить свой кругозор учащихся в этой области.

В презентации представлены интересные свойства равнобедренной трапеции с доказательствами и решение некоторых задач двумя способами, один из которых с применением рассмотренных свойств. Наглядно показано, где более рационально решена задача.

Просмотр содержимого документа «Задачи»

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:

«ТРАПЕЦИЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИЁМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ».

Составитель: Сидорова А.В., МОУ СОШ № 31

Свойство . В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии трапеции.

В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см, составляет с основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции. (Ответ: 2 см)

Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагоналями трапеции и её основанием равен 2. Найдите высоту трапеции. (Ответ: 4)

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна , а основания равны 4 и 5. Найдите её диагональ. (Ответ: 14 )

В равнобокой трапеции основания 6 и 10. Диагональ равна 10. Найти площадь трапеции. (Ответ: 48)

Средняя линия равнобедренной трапеции равна 4. Площадь трапеции равна 8. Найти тангенс угла между диагональю и основанием трапеции. (Ответ: 0,5)

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна , а средняя линия равна 4. (Ответ: 24)

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её средняя линия равна 6, а тангенс угла между диагональю и основанием равен 1,5. (Ответ: 5 4)

Найти диагональ равнобедренной трапеции, если её площадь равна , а средняя линия равна 2. (Ответ: 6 )

Найти площадь равнобедренной трапеции, если её высота равна 4, а тангенс угла между диагональю и основанием равен . (Ответ: 96)

Найти площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 13, образует с основанием угол, косинус которого равен . (Ответ: 78 )

Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона 9, а диагональ 11. Найти меньшее основание. (Ответ: 5)

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10, боковая сторона 18, а диагональ 22. Найти большее основание трапеции. (Ответ: 16)

Найти среднюю линию равнобедренной трапеции, если диагональ составляет угол 30° с основанием, а высота равна 2. (Ответ: )

В равнобедренной трапеции диагональ равна 13 см, а средняя линия – 12 см. Найдите высоту трапеции. (Ответ: 5)

Свойство . Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то её высота равна средней линии.

Свойство .Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты S = h 2 .

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а длина её средней линии равна 9. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции. (Ответ: 9)

В равнобедренной трапеции средняя линия равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции. (Ответ: 25)

Найти площадь равнобедренной трапеции, основания которой 12 и 34, а диагонали перпендикулярны. (Ответ: 529 )

В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции, если её площадь равна 36. (Ответ: 6)

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а её площадь равна 4. Найти высоту трапеции. (Ответ: 2)

Найти периметр равнобедренной трапеции, боковая сторона которой 13, высота 12, а диагонали взаимно перпендикулярны. (Ответ: 50)

Площадь равнобедренной трапеции равна 256, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции. (Ответ: 18)

В равнобедренной трапеции ABCD (BC || AD) диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, ВС = 6 см, AD = 20 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции. (Ответ: 15)

В равнобедренной трапеции ABCD ( AD || BC ) Диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 12 см. Расстояние от вершины А до прямой CD в три раза больше, чем расстояние от вершины В до этой прямой. Найдите основания трапеции. (Ответ: 18 см и 6 см)

В окружность радиуса 5 вписана трапеция ABCD . Найдите длину средней линии трапеции, если известно, что её диагонали перпендикулярны друг другу, а синус угла ВАС равен 0,6. (Ответ: 7)

Свойство. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней линии.

Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная тра ­ пеция с острым углом 30°. Найти длину средней линии трапеции. (Ответ: 8)

Найти боковую сторону равнобокой трапеции, описанной около круга, если острый угол при основании трапеции равен , а площадь трапеции 288. (Ответ: 24)

Около окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 20)

Около окружности описана трапеция, площадь которой равна 20, а синусы углов при основании равны 0,8. Найти длину средней линии трапеции. (Ответ: 5)

Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 5. Боковая сторона равна 12. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 120)

Равнобочная трапеция с площадью 40 и боковым ребром 8 такова, что в неё можно вписать окружность. Найти радиус окружности. (Ответ: 2,5)

Около окружности радиуса 2,5 описана равнобедренная трапеция. Площадь этой трапеции равна 40 . Чему равна боковая сторона трапеции? (Ответ: 8)

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 8. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен 30°. (Ответ: 4 )

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны. Найдите радиус окружности. (Ответ: )

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 4. Боковая сторона равна 9. Найти площадь трапеции. (Ответ: 72 )

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48. Найдите длину боковой стороны. (Ответ: 12)

В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна , вписана окружность. Найдите радиус этой окружности. (Ответ: 3)

Около круга описана равнобедренная трапеция, у которой средняя линия равна m . Определить периметр трапеции и длину её боковой стороны. (Ответ: Р = 4 m , боковая сторона m )

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна , а косинус угла при основании трапеции равен . (Ответ: 1,5)

Найти среднюю линию равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 2, если тангенс угла наклона при основании трапеции равен . (Ответ: 16)

Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 20. Найти площадь этой трапеции. ( Ответ:20).

17. Около окружности радиуса r описана равнобочная трапеция, периметр которой равен 2р. Найдите большее основание трапеции. (Ответ: .)

В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение оснований равно k. Найдите косинус угла при основании. (Ответ: )

Периметр равнобедренной трапеции вдвое больше длины вписанной окружности. Найти угол при основании трапеции.( )

Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 2. Найдите площадь трапеции, если косинус угла при большем основании трапеции равен 0,6. (Ответ: 40)

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 3, равна 60. Найдите косинус угла при большем основании трапеции. (Ответ: 0,8)

Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга. (Ответ: )

Свойство . Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим её оснований: h 2 = a ∙ b .

В равнобедренную трапецию с основаниями 18 см и 6 см вписан круг. Найдите его радиус и углы трапеции. (Ответ: )

Основания описанной около окружности равнобедренной трапеции равны 2 и 18. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 60 )

Основания равнобедренной трапеции относятся как 1 : 5, а радиус окружности, вписанной в эту трапецию, равен 7,5 см. Найдите стороны трапеции. (Ответ: )

Около окружности с диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17. Найдите основания трапеции. (Ответ: 25 и 9)

В равнобокую трапецию с верхним основанием, равным 1, вписана окружность единичного радиуса. Найти нижнее основание трапеции. (Ответ: 4)

Около окружности описана равнобедренная трапеция с боковой стороной l. Одно из оснований трапеции равно a. Найдите площадь трапеции. (Ответ: )

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 10. Верхнее основание трапеции в два раза меньше её высоты. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 500)

В равнобочную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции. (Ответ: 5 R 2 )

В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 6 см, точка касания делит боковую сторону на отрезки, разность между которыми равна 5 см. Найти среднюю линию трапеции. (Ответ: 13)

Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5 см. Известно, что средняя линия делит площадь трапеции на две части, площади которых относятся как 7:13. Найти высоту трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность. (Ответ: 4)

Около окружности описана равнобочная трапеция BCDE (CD || BE) площадь которой равна , CD : ВЕ = 1 : 2. Найти ВС. (Ответ: 1)

Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании равен 120°.(Ответ: .)

В равнобедренную трапецию вписан круг. Боковая сторона делится точкой касания на отрезки длиной 9 и 16. Определить площадь трапеции. (Ответ: 600)

Около окружности, радиус которой равен 10, описана равнобедренная трапеция. Расстояния между точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции 12. Найдите боковую сторону трапеции. (Ответ: )

Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 68. Найти радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64. (Ответ: 30)

В равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 36, вписана окружность радиуса 12. Найдите наименьшее основание трапеции. (Ответ: 16)

В равнобедренную трапецию, длины оснований которой равны и , можно вписать окружность. Найдите длину диагонали этой трапеции. (Ответ: 2,5)

Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию. Точка касания окружности с боковой стороной трапеции делит эту сторону в отношении 1 : 4. Найдите периметр трапеции. (Ответ: 120).

В равнобедренную трапецию, у которой одно основание в 4 раза меньше другого, вписана окружность. Докажите, что радиус этой окружности равен меньшему основанию.

Разные задачи по теме «Трапеция»

Диагональ равнобочной трапеции делит тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции. (Ответ: 96)

Доказать, что площадь трапеции равна произведению одной из непараллельных сторон на перпендикуляр, опущенный из середины другой непараллельной стороны на первую.

Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно . Найдите углы трапеции. (Ответ: )

В трапеции большее основание равно 10. Диагонали трапеции, равные 8, перпендикулярны боковым сторонам. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 30,72)

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно b. Найдите боковую сторону, если известно, что она в m раз короче диагонали.

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, а длина диагонали равна d. Найдите меньшее основание, если известно, что большее основание в m раз длиннее боковой стороны.

Около окружности радиуса R описана прямоугольная трапеция площади S. Вычислите острый угол трапеции. (Ответ: .)

Найдите площадь равнобедренной тапеции, зная длину ее диагонали 10 см и величину угла в 15 ⁰ между этой диагональю и большим основанием. (Ответ: 25.)

Основания BC и AD равнобедренной трапеции ABCD равны 4 и 8 соответственно. В трапеции проведены две высоты СН и BN . Диагональ АС пересекает высоту BN в точке О и равна . Найдите длину отрезка ON . (Ответ: 1.)

Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причём боковая сторона делится точкой касания в отношении 9 : 25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найти отношение площади этого треугольника к площади трапеции. (ЕГЭ -2011)

Трапеция с основаниями 14 и 30 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. (Ответ: 39 или 9)

В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями 8 и . Найдите длину диагонали трапеции. (Ответ: .)

Трапеция ABCD с основаниями AD и ВС вписана окружность с центром О , Найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3 и . (Ответ: 9 или 1)

Трапеция ABCD с основаниями AD = 6, ВС = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка К , отличная от точки D так, что ВК = 7. Найдите длину отрезка АК . (Ответ: 4).

В равнобокой трапеции ABCD основания AD и ВС равны 20 и 8 соответственно, а боковая сторона равна 10. Через вершину А проведена прямая, делящая площадь трапеции в отношении 1 : 3 и пересекающая прямую ВС в точке К. Найдите длину отрезка КС. (Ответ: 1 или .)

Используемая литература:

Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Геометрия/ Под ред. М.И.Сканави.- М.: Издательский дом ОНИКС: Альянс-В, 1999.

Зив Б.Г. ,Мейлер В.М. , Баханский А.Г. . Задачи по геометрии для 7-11 классов -М.: Просвещение, 1991.

Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. и др. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика.- М: Интеллект- Центр, 2003-2008.

Кочагин В.В., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ- 2008: математика: реальные задания.- М.: АСТ: Астрель, 2008.

Ковалева Г.И., Бузулина Т.И., Безрукова О.Л., Розка Ю.А. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов.- Волгоград: Учитель, 2007.

Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике.- М.: Просвещение, 1991.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и контрольных работ по геометрии для 8 класса.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред.шк.- М.: Просвещение, 1991.

Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4)

Просмотр содержимого презентации «альтернативные методы решения геометрических задач ГИА и ЕГЭ»
  • Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны.
  • Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
  • Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.
  • Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
  • Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180⁰.
  • Биссектриса угла трапеции, пересекающая второе основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  • Средняя линия трапеции делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам.
  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Углы при одном основании трапеции равны 37⁰ и 53⁰, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 21 и 12. Найдите основания трапеции. (ОГЭ)

Дано : ABCD - трапеция, BC || AD ,

BN = NC, AM = MD, EF = 21, NM = 12

Найти : BC и AD

Ответ: AD = 33, BC = 9

  • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника, причём треугольники, прилежащие к основаниям, подобны друг к другу, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновеликие, т.е. имеют равные площади.

S Δ AOB = S Δ COD .

  • Отрезок разбивающий трапецию на две подобные

трапеции, имеет длину равную

  • В любой трапеции следующие четыре

точки лежат на одной прямой: середины

оснований, точка пересечения диагоналей,

точка пересечения продолжений боковых

  • Отрезок, параллельный основаниям трапеции, походящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам.

Его длина есть среднее гармоническое

  • Если в трапецию вписана окружность,

то отрезки, соединяющие центр

окружности с концами боковой стороны

  • Если в трапецию вписана окружность и m , n , p , q - длины отрезков боковых сторон от точек касания до вершин,

то для вычисления радиуса вписанной в неё окружности

можно использовать формулы:

  • В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
  • В равнобедренной трапеции, прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен . (ГИА)

Дано : ABCD - трапеция, AD || BC

cos BDH = , BD = 10

План решения : S = mh

  • HD= ;
  • ВН = ;
  • АН = KD = x ,

В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии трапеции.

Дано : ABCD - трапеция, BC || AD ,

AB = CD , ВН AD , BD - диагональ

Доказательство :

  • Опустим высоту СК .
  • ;

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен .

Дано : ABCD - трапеция,

AD || BC

cos BDH = , BD = 10

План решения : S = mh

  • HD= ;
  • ВН = ;
  • S =

В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 и 26. (ГИА)

Дано : ABCD - трапеция, AD || BC , AB = CD , AD = 26, BC = 10,

План решения: S = mh

2) Проведём высоту МК;

AK =OK = 13, BM = MO = 5, MK = 18

Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то её высота равна средней линии.

Дано : ABCD- трапеция, BC || AD,

AB = CD, AC BD, BH – высота

Доказательство:

Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты, т.е. .

Дано : ABCD – трапеция, BC || AD ,

AB = CD , BH – высота трапеции

Доказать : S = BH 2

Доказательство :

В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 и 26.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, AD || BC , AD = 26, BC = 10,

Найти: S

Решение: S = h 2 ,

h = m, S = m 2 ,

S= 18 2 = 324.

Найдите радиус окружности, если основания описанной около неё равнобедренной трапеции равны 4 см и 16 см.

Дано : окр.( О;r ) вписана в

трапецию ABCD

AD || BC , AB = CD

AD = 16 cм, ВС = 4 см

Найти : r

План решения : r = h

  • АВ ;
  • АН ;
  • ВН ;
  • r

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней линии трапеции.

Дано: окр.( О ; r ) вписана

в трапецию ABCD, AD || BС

Доказать :

Доказательство:

по свойству четырёхугольника, описанного около окружности:

AB + CD = AD + BC, AB = CD,

2AB = AD + BC,

Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим её оснований: .

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎