Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Ненулевой вектор нормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой прямой.

Пусть на координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы точка и ненулевой вектор (рис. 3.5, а). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Обозначим и — радиус-векторы точек и . Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и . Учитывая, что , получаем векторное уравнение прямой :

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть , используя свойства скалярного произведения. Обозначая , получаем уравнение

выражающее постоянство проекций на нормаль

Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой (3.5). Так как и , по формуле (1.9) находим или

Полученное соотношение (3.7) позволяет по координатам точки и координатам нормали , получим общее уравнение прямой на плоскости

Поскольку коэффициенты Теорема (3.2) об алгебраической линии первого порядка. Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными задает в аффинной системе координат прямую, и наоборот, всякая прямая в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением первой степени с двумя неизвестными. Другими словами, алгебраическая линия первого порядка есть прямая.

1. При составлении общего уравнения прямой нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали , что соответствует умножению обеих частей уравнения (3.8) на число .

2. Если один из коэффициентов уравнения прямой (3.8) равен нулю, общее уравнение прямой (3.8) принимает один из следующих частных видов:

а) если , уравнение (3.8) имеет вид или уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (рис.3.6.a); при прямая совпадает с осью ;

б) если , уравнение (3.8) имеет вид или уравнение прямой, параллельной оси ординат (рис.3.6,б); при прямая совпадает с осью ;

в) если , уравнение (3.8) имеет вид – уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.3.6,в).

3. Нормаль к прямой совпадает с градиентом функции :

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (рис.3.7,а): положительную , координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству , и отрицательную , для точек которой . Нормаль , приложенная к любой точке прямой, принадлежит положительной полуплоскости. Другими словами, нормаль, приложенная к произвольной точке прямой, указывает на положительную полуплоскость (рис.3.7,а).

Действительно, обозначим через — многочлен первой степени от двух переменных и . Тогда для любой точки , принадлежащей прямой (3.8), справедливо равенство . Представим значение многочлена в произвольной точке плоскости в виде скалярного произведения:

где — нормаль к прямой ; — точка, принадлежащая этой прямой. Знак выражения определяется величиной угла между нормалью . Например, для точки угол острый (рис.3.7,б), поэтому , а для точки угол тупой (рис.3.7,б), поэтому . Следовательно, координаты любой точки , принадлежащей полуплоскости, на которую указывает нормаль, удовлетворяют неравенству , а координаты точек другой полуплоскости- неравенству .

5. Абсолютное значение пропорционально расстоянию от точки до прямой , т.е. отношение расстояний от точек и до прямой равно отношению .

Действительно, в пункте 3 получено представление значений линейного трехчлена в виде скалярного произведения, которое можно выразить через алгебраическое значение длины ортогональной проекции:

Запишем отношение значений линейного трехчлена для двух точек и :

Учитывая, что абсолютная величина равна расстоянию от точки до прямой, получаем искомое отношение

6. В аффинной системе координат линейное уравнение ах задает, согласно теореме 3.2, прямую. Выводы, полученные в пунктах 2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор не является нормалью.

Пример 3.5. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы точки и . Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку (рис.3.8).

Решение. Серединный перпендикуляр, по определению, проходит перпендикулярно отрезку через его середину. Находим координаты середины отрезка :

Следовательно, уравнение (3.8) искомой прямой имеет вид . Осталось найти величину свободного члена . Поскольку точка принадлежит прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой, следовательно, . Отсюда . Таким образом, серединный перпендикуляр задается уравнением

Уравнение этой прямой можно было получить в виде (3.7), подставляя координаты нормали и точки .

Решение задачи получено аналитически без использования графического изображения (рис.3.8). Чертеж в аналитической геометрии служит, как правило, лишь иллюстрацией к решению.

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы на плоскости прямая, описываемая общим уравнением (3.8) , и точка . Требуется найти расстояние на направление нормали , где — любая точка на заданной прямой.

Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов , :

Поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению (3.8), то . Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки до прямой

Пример 3.6. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы точки и . Требуется найти, в каком отношении прямая делит отрезок .

Решение. Найдем значения линейного трехчлена в точках и : ; . Получили значения разных знаков. Следовательно, точки лежат по разные стороны от прямой (в точке на рис.3.10). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек до прямой

Этот же результат можно получить по формуле (3.9). Находим расстояния и от точек до прямой

Нормированное уравнение прямой

Преобразуем общее уравнение прямой следующим образом. Если свободный член , то разделим обе части на длину нормали , а если , то разделим на . Получим уравнение

в котором свободный член , в силу описанного выбора знака, неположительный. Обозначим его через . Коэффициенты при неизвестных являются координатами единичного вектора или , и равны направляющим косинусам:

Тогда уравнение принимает вид (3.10) и называется нормированное уравнение прямой

1. Свободный член нормированного уравнения (3.10) равен расстоянию от начала координат до прямой.

Действительно, по формуле (3.9) находим расстояние до прямой, описываемой уравнением (3.10):

2. Нормированное уравнение прямой (3.10) можно записать в виде (3.7): , если в качестве нормали л выбрать единичный вектор , так как . Из двух возможных единичных нормалей условию отвечает нормаль получилось бы отрицательное значение , которое не допускается в уравнении (3.10).

3. Коэффициенты общего уравнения прямой (3.8) определяются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали. При составлении нормированного уравнения (3.10) прямой такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при ) или с точностью до знака (при ).

4. Нормированное уравнение прямой имеет смысл только в прямоугольной системе координат.

Пример 3.7. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.3.12). Требуется:

а) составить общее и нормированное уравнения прямой, содержащей высоту ;

б) найти расстояние от начала координат до прямой ;

в) найти расстояние до прямой .

Решение. а) Вектор , перпендикулярный прямой , является нормалью для этой прямой. Находим координаты вектора , вычитая из координат конца координаты его начала:

Коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой равны координатам нормали, поэтому и . Подберем свободный член так, чтобы прямая проходила через точку . Для этого подставим координаты точки в уравнение: . Отсюда . Таким образом, искомое общее уравнение имеет вид: .

Преобразуем общее уравнение . Поскольку в этом уравнении , разделим его на . Получим нормированное уравнение прямой . Сравнивая с (3.10), находим направляющие косинусы и параметр .

б) Из пункта 1 замечаний 3.3 следует, что искомое расстояние от начала координат до прямой равно .