Свойства биссектрисы и медианы треугольника

В этой статье вы найдете свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые могут быть полезны при решении задач.

1. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Действительно, точки, лежащие на биссектрисе угла равноудалены от сторон угла. Следовательно, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, то есть является центром вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Сделаем дополнительные построения. Проведем через точку прямую , параллельную

-точка пересечения прямой и прямой :

∠1=∠2, так как - биссектриса ∠

∠2=∠3 как накрест лежащие, так как по построению.

Следовательно, ∠1=∠3 и треугольник - равнобедренный, и .

Далее. Треугольник подобен треугольнику по двум углам:

3. Длина биссектрисы вычисляется по таким формулам:

Докажем вторую формулу.

Приравняем выражения для площади треугольника :

4. Пусть О-центр вписанной окружности, -биссектриса угла треугольника :

Тогда выполняется соотношение:

- биссектриса угла , следовательно, по свойству биссектрисы треугольника

Выразим . По свойству биссектрисы треугольника :

Биссектрису треугольника в некоторых задачах удобно продолжить до пересечения с описанной окружностью.

Лемма о трилистнике.

Дан треугольник . Точка - точка пересечения биссектрисы угла с описанной около треугольника окружностью. Пусть - центр вписанной в треугольник окружности. Тогда

Вписанные углы, которые опираются на равные дуги равны. Отметим равные вписанные углы:

- центр вписанной окружности, поэтому -бисссектриса угла .

Тогда из треугольника

То есть треугольник - равнобедренный.

Докажем формулу (1) из п. 3:

Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью. Рассмотрим треугольники и . Отметим равные углы:

Треугольник подобен треугольнику по двум углам. Отсюда:

По свойству отрезков пересекающихся хорд

Подставим (3) в (2) и воспользуемся (4):

Выразим длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника через длины сторон треугольника. Введем обозначения:

1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины:

2. Пусть - точка внутри треугольника такая, что выполняется соотношение: , то - точка пересечения медиан треугольника .

Докажем вспомогательную теорему.

Для произвольной точки внутри треугольника выполняется соотношение:

Опустим из точек и перпендикуляры на :

Из подобия треугольников и получаем:

Если мы рассмотрим треугольники и с общим основанием , то получим соотношение:

Сложив эти равенства получим:

Используем эту лемму для доказательства утверждения 2.

Если выполняется равенство (1) , то выполняется равенство (2) и из леммы следует, что в равенстве (2) каждая дробь равна .

Докажем, что в этом случае отрезки являются медианами.

Если , то получаем . Проведем через точку прямые, параллельные и и рассмотрим две пары подобных треугольников: и :

Из подобия треугольников получаем , то есть точка - середина отрезка . Отсюда .

Следовательно, - медиана треугольника .

3. Медианы треугольника, пересекаясь, разбивают его на 6 равновеликих треугольника.

1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае остроугольного треугольника в одной точке пересекаются сами высоты.

2. Точка пересечения высот треугольника обладает следующим свойством: сумма квадрата расстояния от вершины треугольника и квадрата противолежащей стороны одинаковая для любой вершины:

Докажем первую часть равенства:

Перепишем его в виде:

По теореме Пифагора: (из треугольников и )

Подставим эти выражения в (1), получим:

Раскроем скобки, получим:

Получили тождество. Вторая часть равенства доказывается аналогично.

3. Если описать вокруг треугольника окружность и продлить высоты треугольника до пересечения с этой окружностью,

то для любой высоты треугольника расстояние от основания высоты до точки пересечения продолжения высоты с окружностью равно расстоянию от основания высоты до точки пересечения высот:

Или так: Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон треугольника, лежат на описанной около треугольника окружности.

Для этого рассмотрим треугольники и , и докажем, что :

Воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. - общая сторона. Докажем равенство двух углов.

Пусть ∠ , тогда из треугольника получим, что

∠ . Следовательно, из треугольника получим, что

Но ∠ и ∠ опираются на одну дугу , следовательно, ∠ ∠

Аналогично получаем, что ∠ ∠

4. В треугольнике точки и - основания высот, проведенных из вершин и . Доказать, что треугольник подобен треугольнику и коэффициент подобия равен .

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы . Точка лежит на этой окружности, так как - гипотенуза прямоугольного треугольника :

, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Отсюда . Угол - общий угол треугольников и . Следовательно, треугольник подобен треугольнику . Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон, то есть сторон, которые лежать против равных углов:

Пусть в треугольнике

Отрезки пересекаются в одной точке в том и только том случае, если

Докажем, что если отрезки пересекаются в одной точке, то соотношение (1) выполняется.

Легко проверить, что если , то выполняется

Применим это свойство пропорции:

Теорему Чевы можно записать в таком виде:

Если отрезки пересекаются в одной точке, то выполняется соотношение:

Чтобы доказать теорему Чевы в форме синусов, достаточно во вторую часть равенства (2) вместо площадей треугольников подставить для площади каждого треугольника формулу .

Из лекций Агаханова Назара Хангельдыевича и Владимира Викторовича Трушкова, КПК МФТИ.