УДК ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ. компьютерных технологий

1 УДК ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Ю.П. Сердега Рассмотрены некоторые способы исследования динамики вращательного движения системы тел с использованием современных компьютерных технологий. Ключевые слова: теоретическая механика вращательное движение динамика компьютерные технологии. Рассмотрим методику составления уравнений описывающих динамику вращательного движения системы тел с использованием векторной формы представления главного вектора и главного момента приложенной системы сил. Пусть имеем систему трех тел (ломаный стержень) закрепленных на вертикальной оси в точке О шарнирно (рис.) при этом угол наклона первого и второго тел к оси X равен а свободный конец первого тела крепится невесомым стержнем к оси У под углом. Третий стержень является продолжением второго но наклонен под углом к оси X. Эта система трех тел вращается с угловой скоростью относительно оси У. Рассмотрим динамику вращательного движения системы тел нахождение реакций Ха Уа и Хb а также нахождение уравновешивающих масс обеспечивающих снижение до нуля динамических нагрузок с использованием компьютерных технологий и программы Mathcad [1]. Если масса всего изогнутого стержня m задана то масса его отдельных участков будет пропорциональна их длинам и тогда в программе Mathcad можно записать: m 1 m1.4m 6 18 b.2 l1 4b m2.4m 3 18 m3.2m Вращающаяся система тел l2 4b g l3 2b 1 158

2 Координаты центров тяжести приложенных масс по оси Х: l1 l2 xp1 cos xp2 2 2 cos l3 xp3 l2cos 2 cos. Силы инерции трех тел соответственно будут равны: Fin1 m1 2 xp1 Fin2 m2 2 xp2 Fin3 m3 2 l3 yf3 l2sin xp3 2 sin а координаты их точек приложения по оси У найдем из выражений: l2cos 2 l2cos l3 yf3 l2sin 2 sin 3 2 l2cos 1 2 l2cos yf1 3 l1 sin 2 yf2 3 l2 sin l3 yf3 l2sin 2 sin 3 l3 cos. 1 2 l2cos l2cos l3 yf3 l2sin 2 l3 2 sin cos Представим активные силы тяжести и силы инерции в векторной форме: P1v m1g Fin1 P2v m2g P3v m3g F1v F2v F3v. xp1 Fin2 Fin3 Тогда главный вектор данной системы сил в векторной форме предстанет в виде суммы векторного представления сил: Ro P1v P2v P3v F1v F2v F3v. Представим в векторной форме координаты центров тяжести приложенных активных сил и сил инерции в виде радиус вектора точек приложения этих сил: rp1 yp1 rp2 yp2 rp3 yp3 xp2 xp3 rf1 yf1 rf2 yf2 rf3 yf3. Тогда главный момент данной системы сил также можно представить в векторной форме как сумму векторных произведений в следующем виде: Mo rp1 P1v rp2 P2v rp3 P3v rf1 F1v rf2 F2v rf3 F3v l2cos. l2cos 1581

3 Для определения реакций в точке О с шарнирным соединением стержня с осью (Хо и Уо) а также реакцию связи N необходимо составить уравнения равновесия всех сил на оси Х и У и сумму моментов всех сил относительно оси Z проходящую через точку О. Численный метод решения этой системы уравнений с использованием Mathcad предстанет в виде: Зададим первое приближение неизвестным: Xo 1 Yo 1 N 1 Given X Ro Xo Ncos Y Ro 1 Yo Nsin Mo Mo 2 Nl1cossin cossin Xo Xo Yo N Find( Xo Yo N) Для определения Решение реакций системы в опорах: уравнений Ха и Уа определение и Хb составим реакций в уравнения опорах равновесия всех сил на оси Х и У а также сумму моментов всех сил относительно оси Z проходящую через точку О (начало координат) предварительно задав координаты установки подшипников по оси У и тогда решение этой системы уравнений с использованием Mathcad предстанет в следующем виде: Решение системы уравнений и определение реакций в опорах ya 5b yb 5b Зададим первое приближение неизвестным: Given X Ro Y Ro 1 Mo Mo 2 ya Yo N yb Find( ) Значения главного вектора и главного момента данной системы можно запросить и Mathcad представит их в векторной форме в следующем виде: Ro Mo

4 Реакции в опорах: Ха и Хb растут с увеличением угловой скорости вращения системы тел но их можно снизить до нуля установив уравновешивающие массы в точках с такими координатами которые обеспечивают снижение динамического момента например для масс m4 и m5 по конструктивным соображениям со следующими координатами: xp4 l2cos yf4 l1sin xp5 l1cos yf5 l2sin Тогда для нахождения уравновешивающих масс m4 и m5 необходимо составить уравнения равновесия всех сил на ось Х а также сумму моментов всех сил относительно оси Z проходящую через точку О и решая эту систему уравнений с использованием Mathcad найдем численные значения уравновешивающих масс m4 и m5 без нахождения аналитических выражений для их определения что и показано ниже на примере численного метода решения этой системы двух уравнений: Зададим первое приближение неизвестным: m4 4 m5 1 Given X Ro m4 2 xp4 m5 2 xp5 Mo Mo 2 m4xp4 g 2 yf4 Fin4 m4 2 xp4 Fin5 m5 2 xp5 P4v m4g P5v m5g F4v F5v xp4 Fin4 rp4 rp5 rf4 yf4 rf5 yf5. m4 m5 Find( m4 m5) xp5 m5xp5 g 2 yf5 m4 m Если установить данные уравновешивающие массы то появятся дополнительные силы тяжести и силы инерции которые также представим в следующем виде в векторной форме: Fin5 Представим также в векторной форме координаты центров тяжести уравновешивающих активных сил и сил инерции в следующем виде: 1583

5 После установки уравновешивающих масс главный вектор и главный момент уравновешенной системы соответственно станут следующими: Rou P1v P2v P3v P4v P5v F1v F2v F3v F4v F5v Mou Mo rp4 P4v rp5 P5v rf4 F4v rf5 F5v Чтобы узнать значения главного вектора и главного момента теперь уже уравновешенной системы достаточно их запросить и Mathcad представит их как показано ниже в векторной форме:. Rou Mou Для определения силовых факторов системы после установки уравновешивающих масс т.е. определения реакций в опорах: Ха Уа и Хb необходимо снова составить уравнения равновесия всех сил на оси Х и У а также сумму моментов всех сил относительно оси Z проходящую через точку О с учетом уже найденных значений главного вектора Rou и главного момента Mou уравновешенной системы. И решение в Mathcad предстанет теперь в виде: Зададим первое приближение неизвестным: Given X Rou Rou Y Rou 1 Mo Mou 2 ya Find( ) yb После установки уравновешивающих масс как видно по результатам расчета реакции в опорах: Ха и Хb стремятся к нулю. Но как показывают исследования установка уравновешивающих масс отличающихся от расчетных на доли процента приведет к появлению динамических нагрузок в опорах Ха и Хb что и требует более точного выполнения условий уравновешивания. Таким образом использование векторной формы представления главного вектора и главного момента приложенной системы сил при составле- 1584

6 нии уравнений описывающих динамику вращательного движения системы тел а также использование компьютерных технологий в частности системы Mathcad позволяет значительно упростить решение инженерных задач без нахождения аналитических выражений для определения неизвестных. Библиографический список 1. Дьяконов В.П. Mathcad 7 в математике физике и в Internet / В.П. Дьяконов И.В. Абраменкова. М.: Нолидж с.