Уравнения с параметрами:графический метод решения

В статье рассматривается графический метод решения некоторых уравнений с параметрами, который весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a.

Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a. График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Из чертежа видно, что:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x1,2 = д 2). Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня. Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня. Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

если a < 0, то корней нет; если a = 0, a > 2, то два корня; если a = 2, то три корня; если 0 < a < 2, то четыре корня.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x 2 – 2| x | – 3 | = a в зависимости от параметра a?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x 2 – 2| x | – 3 | и y = a.

График функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).

Из чертежа видно:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня. Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | четыре общие точки, а также прямая y=a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня. Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней. Если 3 < a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней. Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

если a < 0, то корней нет; если a = 0, a > 4, то два корня; если 0 < a < 3, a = 4, то четыре корня; если a = 3, то пять корней; если 3 < a < 4, то шесть корней.

Задача 3. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Решение. Построим в системе координат (x; y) график функции но сначала представим ее в виде:

Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.

Графики функций пересекаются в одной точке при a > – 1; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет одно решение.

При a = – 1, a = – 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра уравнение (1) имеет два корня. При – 2 < a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

если a > – 1, то одно решение; если a = – 1, a = – 2, то два решения; если – 2 < a < – 1, a < – 1, то три решения.

Замечание. При решении уравнения (1) задачи 3 особо следует обратить внимание на случай, когда a = – 2, так как точка (– 1; – 1) не принадлежит графику функции но принадлежит графику функции y = | x | + a.

Перейдем к решению другой задачи.

Задача 4. Сколько корней имеет уравнение

x + 2 = a | x – 1 | (2)

в зависимости от параметра a?

Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем данного уравнения, так как равенство 3 = a · 0 не может быть верным ни при каком значении параметра a. Разделим обе части уравнения на | x – 1 |(| x – 1 | № 0), тогда уравнение (2) примет вид В системе координат xOy построим график функции

График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Далее рассуждая так же, как и в задаче 3, получаем ответ.

если a Ј – 1, то корней нет; если – 1 < a Ј 1, то один корень; если a > 1, то два корня.

Рассмотрим наиболее сложное уравнение.

Задача 5. При каких значениях параметра a уравнение

ax 2 + | x – 1 | = 0 (3)

имеет три решения?

Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0, при котором уравнение (3) примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a = 0 уравнение (3) имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

2. Рассмотрим случай, когда a № 0.

Перепишем уравнение (3) в следующем виде: ax 2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение будет иметь решения только при a < 0.

В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = ax 2 . График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = ax 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a < 0. Вершина параболы — точка (0; 0).

Уравнение (3) будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет касательной к графику функции y=ax 2 .

Пусть x0 — абсцисса точки касания прямой y = – x + 1 с параболой y = ax 2 . Уравнение касательной имеет вид

Запишем условия касания:

Данное уравнение можно решить без использования понятия производной.

Рассмотрим другой способ. Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с параболой y = ax 2 + px + q, то уравнение ax 2 + px + q = kx + b должно иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение ax 2 = – x + 1 (a № 0). Дискриминант уравнения

6. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a?

1) | | x | – 3 | = a; 2) | x + 1 | + | x + 2 | = a; 3) | x 2 – 4| x | + 3 | = a; 4) | x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) если a<0, то корней нет; если a=0, a>3, то два корня; если a=3, то три корня; если 0<a<3, то четыре корня; 2) если a<1, то корней нет; если a=1, то бесконечное множество решений из отрезка [– 2; – 1]; если a > 1, то два решения; 3) если a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a=1, то шесть корней; если a=3, то три решения; если a>3, то два решения; 4) если a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a=4, то шесть корней; если a=5, то три корня; если a>5, то два корня.

7. Сколько корней имеет уравнение | x + 1 | = a(x – 1) в зависимости от параметра a?

Указание. Так как x = 1 не является корнем уравнения, то данное уравнение можно привести к виду .

Ответ: если a Ј –1, a > 1, a=0, то один корень; если – 1<a<0, то два корня; если 0<a Ј 1, то корней нет.

8. Сколько корней имеет уравнение x + 1 = a | x – 1 |в зависимости от параметра a?

Указание. Привести уравнение к виду Построить график (см. рисунок).

Ответ: если a Ј –1, то корней нет; если – 1<a Ј 1, то один корень; если a>1, то два корня.

9. Сколько корней имеет уравнение

2| x | – 1 = a(x – 1)

в зависимости от параметра a?

Указание. Привести уравнение к виду

Ответ: если a Ј –2, a>2, a=1, то один корень; если –2<a<1, то два корня; если 1<a Ј 2, то корней нет.

10. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.

Ответ: если a Ј 0, a і 2, то один корень; если 0<a<2, то два корня.

11. При каких значениях параметра a уравнение

x 2 + a | x – 2 | = 0

имеет три решения?

Указание. Привести уравнение к виду x 2 = – a | x – 2 |.

Ответ: при a Ј –8.

12. При каких значениях параметра a уравнение

ax 2 + | x + 1 | = 0

имеет три решения?

Указание. Воспользоваться задачей 5. Данное уравнение имеет три решения только в том случае, когда уравнение ax 2 + x + 1 = 0 имеет одно решение, причем случай a = 0 не удовлетворяет условию задачи, то есть остается случай, когда

13. Сколько корней имеет уравнение

x | x – 2 | = 1 – a

в зависимости от параметра a?

Указание. Привести уравнение к виду –x |x – 2| + 1 = a. Построить графики функций y = – x | x – 2 | + 1 и y = a. Отметим, что

Ответ: если a<0, a>1, то один корень; если a=0, a=1, то два корня; если 0<a<1, то три корня.

14. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики правой и левой частей данного уравнения.

Для построения графика функции найдем промежутки знакопостоянства выражений x + 1 и x:

Ответ: если a і 0, то один корень; если – 1 < a < 0, то два корня; если a = – 1, a Ј –2, то три корня; если – 2<a<–1, то четыре корня.

15. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.

Ответ: если a<0, a>2, то два корня; если 0 Ј a Ј 2, то один корень.

16. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения. Для построения графика функции найдем промежутки знакопостоянства выражений x + 2 и x:

Ответ: если a>– 1, то одно решение; если a = – 1, то два решения; если – 3<a<–1, то четыре решения; если a Ј –3, то три решения.