ПРОГРАММА ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В СГУГиТ ПО МАТЕМАТИКЕ

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ» (СГУГиТ) ПРОГРАММА ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В СГУГиТ ПО МАТЕМАТИКЕ 1

2 Письменная экзаменационная работа по математике в СГУГиТ является вступительным испытанием, направленным на выявление уровня математического мышления и владения математическими умениями и навыками, которые необходимы для обучения в вузе. Программа составлена на основе Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускников средней школы (приказ Минобразования России от «Об утверждении федерального компонента Государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования») в соответствии с кодификатором элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов для проведения ЕГЭ и кодификатором требований к уровню подготовки выпускников образовательных организаций для проведения ЕГЭ по математике. Не вошедшие в неѐ сведения и факты также могут быть использованы абитуриентом при решении задач. Проверяемые элементы содержания 1. Алгебра 1.1. Числа, корни и степени Натуральные числа Делители и кратные. Отношение чисел. Пропорция Целые числа Степень с натуральным показателем Дроби, проценты, рациональные числа Степень с целым показателем Корень степени n>1 и его свойства Степень с рациональным показателем и еѐ свойства Свойства степени с действительным показателем 1.2. Основы тригонометрии Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла Радианная мера угла Синус, косинус, тангенс и котангенс числа Основные тригонометрические тождества Формулы приведения Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов Синус и косинус двойного угла 1.3. Логарифмы Логарифм числа Логарифм произведения, частного, степени Десятичный и натуральный логарифмы, число е 1.4. Преобразования выражений Преобразования выражений, включающих арифметические операции Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени 2

3 Преобразования тригонометрических выражений Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования Модуль (абсолютная величина) числа 2. Уравнения и неравенства 2.1. Уравнения Квадратные уравнения Рациональные уравнения Иррациональные уравнения Тригонометрические уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Равносильность уравнений, систем уравнений Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными Основные приѐмы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных Использование свойств и графиков функций при решении уравнений Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учѐт реальных ограничений 2.2. Неравенства Квадратные неравенства Рациональные неравенства Показательные неравенства Логарифмические неравенства Системы линейных неравенств Системы неравенств с одной переменной Равносильность неравенств, систем неравенств Использование свойств и графиков функций при решении неравенств Метод интервалов Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем 3. Функции 3.1. Определение и график функции Функция, область определения функции Множество значений функции График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях Обратная функция. График обратной функции Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат 3.2. Элементарное исследование функций Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания 3

4 Чѐтность и нечѐтность функции Периодичность функции Ограниченность функции Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции Наибольшее и наименьшее значения функции 3.3. Основные элементарные функции Линейная функция, еѐ график Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, еѐ график Квадратичная функция, еѐ график Степенная функция с натуральным показателем, еѐ график Тригонометрические функции, их графики Показательная функция, еѐ график Логарифмическая функция, еѐ график 4. Начала математического анализа 4.1. Производная Понятие о производной функции, геометрический смысл производной Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком Уравнение касательной к графику функции Производные суммы, разности, произведения, частного Производные основных элементарных функций Вторая производная и еѐ физический смысл 4.2. Исследование функций Применение производной к исследованию функций и построению графиков Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе, социально- экономических задачах 4.3. Первообразная и интеграл Первообразные элементарных функций Примеры применения интеграла в физике и геометрии 5. Геометрия 5.1. Планиметрия Треугольник Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат Трапеция Окружность и круг Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника Правильные многоугольники. Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника 5.2. Прямые и плоскости в пространстве 4

5 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства Параллельность плоскостей, признаки и свойства Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трѐх перпендикулярах Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур 5.3. Многогранники Призма, еѐ основания, боковые рѐбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде Пирамида, еѐ основание, боковые рѐбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида Сечения куба, призмы, пирамиды Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) 5.4. Тела и поверхности вращения Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка Шар и сфера, их сечения 5.5. Измерение геометрических величин Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояние между параллельными плоскостями Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы Объѐм куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара 5.6. Координаты и векторы Декартовы координаты на плоскости и в пространстве Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Компланарные векторы. Разложение по трѐм некомпланарным векторам 5

6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами 6. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей 6.1. Элементы комбинаторики Поочерѐдный и одновременный выбор Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона 6.2. Элементы статистики Табличное и графическое представление данных Числовые характеристики рядов данных 6.3. Элементы теории вероятностей Вероятности событий Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач Проверяемые умения 1. Умение выполнять вычисления и преобразования 1.1. Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма 1.2. Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования 1.3. Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции 2. Умение решать уравнения и неравенства 2.1. Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы 2.2. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод 2.3. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы 3. Умение выполнять действия с функциями 3.1. Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций 3.2. Вычислять производные и первообразные элементарных функций 3.3. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функции 4. Умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 4.1. Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) 6

7 4.2. Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объѐмов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы 4.3. Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами 5. Умение строить и исследовать простейшие математические модели 5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры 5.2. Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин 5.3. Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения 5.4. Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий 6. Умение использовать приобретенные знания и навыки в практической деятельности и повседневной жизни 6.1. Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах 6.2. Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках 6.3. Решать прикладные задачи, в том числе социально- экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения Критерии оценивания письменной работы Письменная экзаменационная работа по математике состоит из трѐх частей, включающих в себя 15 заданий. Часть 1 содержит 7 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания высокого уровня сложности с развѐрнутым ответом. Часть 3 содержит 4 задания повышенного уровня сложности с развѐрнутым ответом. На выполнение заданий отводится 3 часа (180 минут). Баллы, полученные за выполненные задания, суммируются. Максимальная оценка за задачи 1 7 составляет 4 балла, за задачи 8 11 составляет 8 баллов, за задачи составляет 10 баллов. Таким образом, максимальная оценка составляет 100 баллов. Максимальная оценка за задачи 1 7 выставляется, если в поле ответов на бланке корректно записан верный ответ, за некорректность записи ответа оценка снижается, за неверный ответ абитуриент получает нуль баллов. Максимальная оценка за задачи 8 15 выставляется, если в пред- 7

8 ставленном решении обоснованно получен верный ответ. Если при верном ходе рассуждений решение содержит недостатки, оценка снижается. Инструкция по выполнению письменной работы Ответы к заданиям 1 7 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа требуется внести в поле ответов в тексте работы. При выполнении заданий 8 15 требуется на чистых листах бланка поставить номер задачи, записать решение и ответ. Последовательность выполнения заданий 8 15 может быть произвольной. 8