Ответ: (2; 0,5; 2,5). Решение. Умножим обе части неравенства на 4 и подставим в него значение 4z из уравнения. Получим: x 2 4y 2

1 11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). x y z, 1.1. Решите систему:. x 4y 5 4z Ответ: (; 0,5;,5). Решение. Умножим обе части неравенства на 4 и подставим в него значение 4z из уравнения. Получим: x 4y 5 4x 4y x 4x 4 4y 4y 1 0 x, x y 1 0. Подставляя найденные значения x и y в уравнение, y 0, 5 получим, что z =, Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов? Ответ: нет, не существует. Решение. Если внутренние углы многоугольника выражаются целыми числами, то и его внешние углы целые числа. Но у любого выпуклого многоугольника сумма внешних углов равна 60, а сумма тысячи любых натуральных чисел больше, чем 60. a 1.. Существует ли такая цифра а, что aaa ( a 1) a 1. Ответ: да, существует. Решение. Действительно, при a = 7 получим верное равенство 7776 = 6 5. Указанное значение а единственное. Действительно, при a < 6 правая часть равенства содержит меньше четырех цифр, а при a > 7 больше четырех цифр. Кроме того, при a = 6 правая часть делится на 5, а левая часть на 5 не делится. Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов)..1. Числовая функция f такова, что для любых x и y выполняется равенство f(x + y) = f(x) + f(y) + 80xy. Найдите f(1), если f(0,5) =. Ответ: 8. Решение. Из условия задачи следует, что f(0,5) = f(0,5 + 0,5) = f(0,5) + f(0,5) + 800,50,5 = = 9. Аналогично, f(1) = f(0,5 + 0,5) = f(0,5) + f(0,5) + 800,50,5 = = 8. Четырѐхугольник АВСD вписанный. Лучи АВ и DС пересекаются в точке M, а лучи ВС и AD в точке N. Известно, что ВМ = DN. Докажите, что CM = CN. Решение. Пусть MBC =, тогда CDN = ABC = 180 (см. рис. 1а). Далее можно рассуждать различными способами. Первый способ. По теореме синусов в Рис. 1а СМ BM треугольниках ВСМ и DCN: sin и sin BCM СN DN. sin 180 sin DCN Так как ВМ = DN, ВСМ = DCN и sin180 sin, то CM = CN. Отметим, что вместо теоремы синусов можно использовать такой прием: «отрежем» треугольник DСN и «приложим» его к треугольнику ВСМ, совместив равные отрезки DN и ВМ (см. рис. 1б). Так как MBC + CDN = 180, то в результате этого образуется новый треугольник, в котором равны углы при вершинах С и C, значит, он равнобедренный. Следовательно, CM = CN. 1

2 Второй способ. Опишем окружности около треугольников ВСМ и DCN (см. рис. 1в). Так как ВМ = DN и ВСМ = DCN, то радиусы этих окружностей равны. Докажем, что вторая точка пересечения этих окружностей лежит на отрезке MN. Действительно, пусть окружность, описанная около треугольника ВСМ, пересекает MN в точке Р. Тогда NPC = MBC =, значит точка Р лежит на окружности, описанной около треугольника DCN. Вписанные углы CMN и CNM треугольника МСN опираются на равные дуги равных окружностей, поэтому эти углы равны. Следовательно, CM = CN. Точка Р, полученная в этом способе решения, называется точкой Микеля для прямых NA, NB, MA и MD. Через эту точку проходят также окружности, описанные около треугольников ANB и AMD. На доске 88 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски? Ответ: нет, нельзя. Решение. Без ограничения общности можно считать, что фишки стоят в левом нижнем углу доски. Докажем, что в правых углах доски поставить фишки невозможно. Покрасим вертикали доски в черный и белый цвета, чередуя их (иначе говоря, «матрасиком», см. рис. ). Заметим, что любой прыжок фишки не изменяет цвета вертикали, в которой она стояла. Изначально 6 фишек стояли в «черных» вертикалях, а фишки в «белых», а в конечной расстановке должно быть наоборот. Значит, такая расстановка невозможна. Для того, чтобы доказать, что фишки нельзя расставить в левом верхнем углу доски, надо «матрасиком» раскрасить горизонтали и провести аналогичное рассуждение. Отметим, что для доказательства невозможности расстановки фишек в соседних углах доски хватает и «шахматной» раскраски. Третий тур (0 минут; каждая задача 8 баллов). sin y sin x x y.1. Решите систему уравнений: sin y sin z z y. x y z Ответ: (; ; ). sin y y sin x x Решение. Исходная система равносильна системе sin y y sin z z. x y z Докажем, что функция f t sin t t является возрастающей. Действительно, функция f t непрерывна и f ' t cost 1 0. Кроме того, производная принимает значение 0 при t k, kz, то есть промежутков, на которых f ' t = 0, не Рис. 1б Рис. 1в Рис.

3 существует. Следовательно, каждое свое значение функция f t принимает только при sin y y sin x x y x одном значении переменной. Тогда sin y y sin z z y z x = y = z =. x y z x y z.. Точки D, Е и F середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE проведена окружность. Докажите, что ее радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника DEF. Решение. Заметим, что треугольник DEF подобен треугольнику АВС с коэффициентом k = 0,5 (см. рис. ). Обозначим центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE через A, B и C соответственно, тогда окружность, содержащая эти точки описана около треугольника A B C. Пусть I центр вписанной окружности треугольника АВС. Треугольник AEF является образом треугольника АВС при гомотетии с центром А и коэффициентом k = 0,5, Рис. поэтому точка A является образом точки I при этой гомотетии, значит, A середина отрезка АI. Аналогично, рассмотрев гомотетии с центрами В и С и коэффициентом k = 0,5, получим, что точки B и C середины отрезков BI и CI соответственно. Следовательно, отрезки A B, B C и C A средние линии треугольников AIB, BIC и CIA соответственно. Таким образом, треугольник A B C также подобен треугольнику АВС с коэффициентом k = 0,5. Значит треугольники A B C и DEF равны, поэтому равны и радиусы окружностей, описанных около них. Для решения можно также использовать следующие факты: 1) окружность, описанная около треугольника DEF, является окружностью девяти точек треугольника АВС; ) стороны треугольника DEF соответственно параллельны сторонам треугольника АВС, так как равны радиусы вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE. На столе выложены в ряд 64 гирьки, причем масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся? Ответ: всегда. Решение. Разобьем все гири на четверки гирь, стоящих подряд. Рассмотрим любую из этих четверок. Пусть масса первой гири равна m, тогда возможны следующие варианты масс четырех гирь (в граммах): 1) m, (m + 1), (m + ), (m + ) или m, (m 1), (m ), (m ); ) m, (m + 1), (m + ), (m + 1) или m, (m 1), (m ), (m 1); ) m, (m + 1), m, (m + 1) или m, (m 1), m, (m 1); 4) m, (m + 1), m, (m 1) или m, (m 1), m, (m + 1). В каждом из случаев четверка гирь разбивается на две пары с равной суммой масс. Действительно: 1), ) I + IV = II + III; ), 4) I + III = II + IV (римскими цифрами обозначены массы гирь по порядку). Следовательно, из каждой четверки можно положить две гири в одну кучку, а две другие в другую кучку. Разбиение, осуществленное таким образом, будет искомым. Объяснить, что любая четверка гирь, стоящих подряд, разбивается на две пары с равными суммами масс можно и без разбора различных случаев: положим первые две гири в разные кучки (большую в первую кучку, а меньшую во вторую) и следующие две гири также положим в разные кучки, но наоборот (меньшую в первую кучку, а большую во вторую). Так как модуль разности между массами первой и второй гирь равен модулю разности между массами третьей и четвертой гирь, то такое разбиение будет искомым.

4 Четвертый тур (5 минут; каждая задача 9 баллов) Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период? Ответ: да, существуют. Решение. Пусть, например, f x cos x cosx, gx cos x, тогда h x = f x gx cos x. Каждая из этих функций определена на множестве R. Наименьший положительный период функции 4 g x равен =, а наименьший положительный период функции h x равен =. Докажем, что наименьший положительный период функции f x равен 6. Действительно, число 6 кратно и, поэтому является как периодом функции y cos x, так и периодом функции y cos x, значит, является и периодом их суммы. Предположим, что существует такое число T, что 0 < T < 6, которое также является периодом функции f x. Тогда для всех действительных значений x должно выполняться равенство cos cos x T x T = cos cos x x. При x = 0 получим: cos cos T T = cos T 1, T k, k Z, T k, k Z,. Следовательно, k = n, то есть cost 1 T n, n Z T n, n Z k четное число. Пусть k = m, где mz, тогда T = 6m. Если m > 0, то 6m 6. Полученное противоречие показывает, что у функции f x не может быть периода, меньшего, чем 6. Существуют и другие примеры. 4.. В тетраэдре АВСD: АВ = 8, ВС = 10, АС = 1, BD = 15. Известно, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противолежащие грани, пересекаются в одной точке. Найдите длины ребер DA и DC. Ответ: DA = 18, DC =,5. Решение. Докажем, что если отрезки, соединяющие вершины тетраэдра АВСD с центрами вписанных окружностей противолежащих граней пересекаются в одной точке, то равны произведения длин противолежащих ребер тетраэдра, то есть DCAB = DВAC = DABC. Действительно, пусть отрезки DO 1 и АО, где O 1 и О центры вписанных окружностей треугольников ABC и DВС Рис. 4 пересекаются в точке N (см. рис. 4). Тогда точки А, D, O 1 и О лежат в одной плоскости, поэтому прямые АO 1 и DО пересекают ребро ВС в одной и той же точке L. Так как AL и DL биссектрисы треугольников ABC и DВС, то по свойству AB BL DB биссектрисы треугольника. Следовательно, DCAB = DВAC. AC CL DC Заменив, например, АО на BО, где О центр вписанной окружности грани DBC, и проведя аналогичное рассуждение, получим требуемое двойное равенство. Отметим, что справедливо и утверждение, обратное доказанному. В нашем случае DВAC = 180, поэтому DA = 18, DC =, В равенстве х 5 + x + = p k числа х и k натуральные. Может ли число р быть простым? Ответ: нет, не может.

5 Решение. Предположим, что р простое число. Заметим, что х = 1 корень многочлена, стоящего в левой части равенства. Тогда этот многочлен можно представить в виде произведения, то есть записать исходное равенство в виде: (x + 1)(x 4 x + x x + ) = p k. При x = 1 это равенство не выполняется ни при каких простых р и натуральных k, значит, x. Следовательно, каждый множитель в левой части полученного равенства больше 1, причем второй множитель больше первого. Если число р простое, то x + 1 = p a, x 4 x + x x + = p b, где а и b натуральные числа и b > a. Тогда x 4 x + x x + при каком-то натуральном значении x делится на x + 1 без остатка, значит, остаток от деления многочлена P(x) = x 4 x + x x + на x + 1 при таком x должен делиться на x + 1. По теореме Безу этот остаток равен P( 1). Следовательно, P( 1) = 7 делится на (x + 1), то есть x = 6. Подставив х = 6 в исходное равенство, получим:7791 = p k, но это невозможно, так как число 7791 не является простым и не является степенью простого (оно делится на, но не делится на 9). Пятый тур (15 минут; каждая задача 7 баллов) Найдите наименьшее значение дроби x y, если x 1 y 1 1. Ответ: 0,5. Решение. Из условия задачи следует, что y 1 1 x 1 0, то есть x x. Аналогично получим, что 1 y. Тогда 0,5 1 y 1, следовательно, 0,5 x y. Значение x y = 0,5 достигается при x = 1, y =, удовлетворяющих Рис. 5 исходному равенству. Оценив значения x и y, можно продолжить решение иначе, используя координатную плоскость. Заметим, что график заданного уравнения целиком лежит в квадрате АВСD (см. рис. 5). Так как этот квадрат лежит в первой координатной четверти, то выражение x y принимает наименьшее значение тогда и только тогда, когда y k принимает наибольшее значение. Таким образом, из всех прямых вида y = x kx, где k > 0, надо выбрать прямую, пересекающую квадрат АВСD и имеющую наибольший угловой коэффициент. Этому условию удовлетворяет прямая ОВ, где В(1; ). График заданного уравнения содержит точку В, так как при подстановке ее координат в это уравнение получается верное числовое равенство. Следовательно, искомое наименьшее значение равно 0, Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг. Найдите сумму площадей этих кругов. Ответ: 1. Решение. Так как все правильные треугольники подобны, то у них отношение площади вписанного круга к площади треугольника одно и то же, то есть S1' S ' Sn '. m, где в знаменателях дробей площади n треугольников, полученных S1 S Sn при разбиении, а в числителях.площади соответствующих вписанных кругов. Тогда n S ' m S k k 1 k 1 него круга. n k = ms = S, где S и S площади исходного треугольника и вписанного в 5

6 равна Так как радиус круга, вписанного в данный треугольник, равен 6 = 1. 6, то его площадь 5.. Сумма цифр натурального числа n равна сумме цифр числа n + 1. Могут ли быть равными суммы цифр чисел n и n? Ответ: нет, не могут. Решение. Воспользуемся тем, что любое натуральное число и его сумма цифр имеют одинаковые остатки от деления на 9. Следовательно, если у двух чисел одинаковые суммы цифр, то разность этих чисел делится на 9. Тогда из условия задачи следует, что (n + 1) n = n + 1 делится на 9. Предположим, что у чисел n и n также одинаковые суммы цифр. Тогда (n ) (n ) = n 1 делится на 9. В этом случае на 9 должно делиться число (n 1) (n + 1) = n, но тогда и число (n + 1) (n ) = также должно делиться на 9, что невозможно. Вторую часть рассуждений можно провести иначе. Из того, что n + 1 делится на 9, следует, что n = 9k 1, где k натуральное число. Тогда n = 7k 6, а n = 9k. Следовательно, при делении на 9 первое число дает остаток, а второе остаток 6. Поэтому их суммы цифр не могут быть равными. 6