Символьные вычисления в моделировании и качественном анализе динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Банщиков Андрей Валентинович, Бурлакова Лариса Александровна, Иртегов Валентин Дмитриевич, Титоренко Татьяна Николаевна

Представлены написанные на языке программирования системы компьютерной алгебры Mathematica комплексы программ для моделирования и качественного анализа в символьном виде динамических систем. В качестве динамических систем, в частности, рассматриваются механические системы и электрические цепи . Описаны используемые алгоритмы и их программная реализация в виде пакетов расширения системы компьютерной алгебры Mathematica. Функциональные возможности комплексов продемонстрированы на конкретных примерах.

Symbolic computation in modelling and qualitative analysis of dynamic systems

Purpose. We propose a technology for investigation of dynamics and stability for motion of mechanical systems and electrical circuits in a symbolic form. The software packages that support the proposed technology are described. Design/methodology/approach. The algorithms implemented in the packages are based on classical methods of analytical mechanics, stability theory of motion and methods representing their further development. Findings. Algorithms for modelling and qualitative analysis of mechanical systems, linear and nonlinear electrical circuits have been described. These algorithms were implemented using computer algebra system Mathematica and presented in the form of its add-on packages. The developed software allows constructing of the characteristic function for the above systems on the base of their geometric description. The function can be used both for deriving equations of motion (state equations of circuit) and for qualitative analysis of stationary solutions (invariant manifolds) of these equations. Functional abilities of the packages have been demonstrated by the specific examples. Research limitations/implications. Software packages are applied for solution of the problems mentioned above entirely in a symbolical form. Such technique is efficient enough for construction of mathematical models (differential equations) and for their qualitative analysis , in particular, for parametric analysis. Originality/value. Using the developed software, new results have been obtained in investigation of the following problems: dynamics of artificial satellites, motion of a rigid body in an ideal fluid, Euler’s equations on Lie algebras, electrical nonlinear circuits and some others. Packages continue to evolve through the expansion of the algorithmic framework.

Текст научной работы на тему «Символьные вычисления в моделировании и качественном анализе динамических систем»

Символьные вычисления в моделировании

и качественном анализе динамических систем*

А. В. Банщиков, Л. А. БУРЛАКОВА, В. Д. Иртегов, Т.Н. Титоренко

Представлены написанные на языке программирования системы компьютерной алгебры Mathematica комплексы программ для моделирования и качественного анализа в символьном виде динамических систем. В качестве динамических систем, в частности, рассматриваются механические системы и электрические цепи. Описаны используемые алгоритмы и их программная реализация в виде пакетов расширения системы компьютерной алгебры Mathematica. Функциональные возможности комплексов продемонстрированы на конкретных примерах.

Ключевые слова: моделирование, качественный анализ, механическая система, электрическая цепь, система компьютерной алгебры, комплекс программ.

При построении математической модели (дифференциальных уравнений движения) для сложных объектов и её качественном анализе исследователи сталкиваются с необходимостью оперировать громоздкими аналитическими выражениями. Эти трудности бывают настолько велики, что существенно сужают класс исследуемых моделей.

Проблемы достоверности, точности вычислений и некоторые другие вопросы вычислительной математики, а также вопросы ускорения и наглядности исследовательского процесса могут быть частично сняты, если в качестве инструмента решения задач выбрана система компьютерной алгебры (СКА). Производительность СКА и эффективность её использования существенно возрастают в связи с увеличением быстродействия и оперативной памяти современных компьютеров, позволяющих обрабатывать большие объёмы символьной информации. Символьные вычисления на ЭВМ уже давно перешли в разряд рабочих вычислительных методов с разнообразными приложениями.

Как видно из публикаций, иногда используется подход к применению СКА в качестве калькулятора для решения отдельно взятой задачи. Существует и другой подход, когда на базе внутреннего языка выбранной СКА или какого-либо универсального языка программирования разрабатывается программное обеспечение для решения определённого класса задач.

В настоящей работе описываются комплексы программ [1-3] для моделирования и качественного анализа динамических систем, дифференциальные уравнения которых можно получить по некоторой характеристической функции. В качестве таких систем, в частности, рассматриваются механические системы и электрические цепи. Написанные на языке программирования СКА Mathematica комплексы программ предназначе-

1 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск, Россия

Контактный e-mail: bav@icc.ru

* Работа поддержана Программой фундаментальных исследований Президиума РАН № 17.1 и Советом по грантам Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-5007.2014.9).

ны для решения указанных задач полностью в символьном виде. Символьные вычисления оказались достаточно эффективными на этапах построения математических моделей и анализа их свойств. На решение таких задач и ориентированы представленные комплексы программ. Комплексы позволяют по геометрическому описанию механической системы или графу электрической цепи построить характеристическую функцию системы, которая используется как для вывода уравнений движения (состояния цепи), так и для анализа свойств решений полученных уравнений. По известным характеристическим функциям и уравнениям движения возможно исследование систем, отличных от механических и электрических, например, на алгебрах Ли.

Алгоритмическую основу комплексов образуют классические методы аналитической механики, теории устойчивости движения и их развитие. Сочетание алгоритмов предметной области с символьными алгоритмами систем компьютерной алгебры позволяет создавать достаточно мощные инструменты для исследования динамических систем. В статье приводится краткое описание алгоритмов, используемых в рассматриваемых программных разработках, что даёт возможность представить круг задач, решаемых комплексами, подходы к моделированию и анализу исследуемых систем. Программная реализация используемых алгоритмов описывается в виде пакетов расширения СКА ЫаЬНешаЫса. Для демонстрации функциональных возможностей обсуждаемых комплексов программ выбраны достаточно простые механические и электрические системы. Исследование сложных механических систем конкретизировано в заключении статьи, а ссылки на соответствующие работы представлены в списке литературы.

1. Математическая модель механической системы

В качестве механической рассматривается система твёрдых тел. Тела соединены так, что либо у них существуют общие точки, либо они могут совершать винтовые движения друг относительно друга. Предполагается, что система находится под воздействием сил потенциальной и непотенциальной природы. Для её описания используется формализм Лагранжа, согласно которому движение системы, находящейся под воздействием только потенциальных сил, характеризуется функцией Лагранжа Ь = Т + и, где и = и(д) — силовая функция, Т = Т(д, д, ¿) — кинетическая энергия, д = (д1,. . . , дп) — обобщённые координаты, д = (с[1. , дп) — обобщённые скорости.

1.1. Описание механической системы

Алгоритм построения функции Лагранжа основывается на геометрическом (рис. 1) и кинематическом описании исследуемой системы тел. На рис. 1 тело В1 является носителем, его положение определяется относительно инерциальной системы осей Е0. С твёрдым телом В1 связана система осей Е1, имеющая начало в точке О1 Е В1, а с телом В к — Ек, имеющая начало в точке О к Е В к. Возможно также использование полуподвижной системы осей [4]. Поворот Ек относительно Е-7 определяется матрицей а-к, элементы которой являются функциями выбранных обобщённых координат.

Для ввода в компьютер в соответствии с конкретной конфигурацией механической системы указывается количество тел N в системе, а для каждого тела Вк (к = 1. , N) задаются:

• ] — номер тела В-, с которым соединено тело Вк, или номер системы осей Е7, относительно которой определяется положение тела Вк (] < к для к > 1 и ] = 0 для В1);

Рис. 1. Геометрическое описание механической системы

• номера осей вращения и соответствующие им идентификаторы углов поворотов;

радиус-вектор точки Ок соединения тел В3 и Вк в системы осей Т3; радиус-вектор точки Ск (центр масс тела Вк) в осях Т

вектор относительной линейной скорости точки Ок в проекциях на оси Т3 (для тела В1 вектор абсолютной линейной скорости точки Ок);

• список обобщённых координат.

Далее номера осей вращения и соответствующие им идентификаторы углов поворотов для каждого тела Вк используются для автоматического построения:

• матрицы направляющих косинусов а3к, определяющей угловое положение системы осей Тк относительно Т3;

• векторов относительной угловой скорости ш3к к-го тела в системе осей Т3 и абсолютной угловой скорости тела шк = + ш3к;

• вектора абсолютной линейной скорости "0к = "о- + [ шк х го ] + "о точки Ок.

1.2. Кинетическая энергия и силовая функция

Кинетическая энергия тела Вк и всей системы находится соответственно по формулам

Tk = 2 mk vOk + 2 Шк • SOk • Шк + mk [ vOk x Шк ] • rCk, T = ^ Tk. (1)

Силовая функция тела Вк в ньютоновском поле тяготения с точностью до второго порядка малости относительно величин, равных отношению характерных размеров системы к расстоянию от точки О1 до неподвижного притягивающего центра О (см. рис. 1), вычисляется следующим образом

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎