11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных

Предположим, что функция u = f ( x , y ) определена в некоторой окрестности U точки M 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные вплоть до порядка n + 1 включительно. Зададим приращения ∆ x , ∆ y независимых переменных x и y , обладающие следующим свойством: для любого t , − 1 ≤ t ≤ 1 точка ( x 0 + t ∆ x , y 0 + t ∆ y ) принадлежит окрестности U . Рассмотрим функцию

F ( t ) = f ( x 0 + t ∆ x , y 0 + t ∆ y ), − 1 ≤ t ≤ 1.

Заметим, что F (1) = f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ), F (0) = f ( x 0 , y 0 ) . Функция F непрерывно дифференцируема на отрезке [ − 1,1]. Действительно, по формуле для производной сложной функции находим:

Из теоремы о непрерывности сложной функции выводим, что функция

∂ f x ( x 0 + t ∆ x , y 0 + t ∆ y )

непрерывна на отрезке [ − 1,1]. Отсюда и из непрерывности функции

∂ f y ( x 0 + t ∆ x , y 0 + t ∆ y )

на отрезке [ − 1,1] следует непрерывность на указанном отрезке функции F ′ ( t ). Кроме того, полагая в формуле ( ) t = 0, находим:

Функции нескольких переменных

( x 0 + t ∆ x , y 0 + t ∆ y ) ( ∆ x )

( x + t ∆ x , y + t ∆ y ) ∆ x ∆ y +

( x + t ∆ x , y + t ∆ y ) ( ∆ y ) 2 .

По причинам, аналогичным указанным выше, функция F ′′ ( t ) непрерывна на отрезке [ − 1,1]. Кроме того, имеет место равенство

( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ( ∆ x )

( x + ∆ x , y + ∆ y ) ∆ x ∆ y +

( x + ∆ x , y + ∆ y ) ( ∆ y ) 2 .

Так же доказывается, что и следующие производные функции F вплоть до производной порядка n + 1 непрерывны на указанном отрезке. Применяя к функции F формулу Тейлора в точке t = 0 с остаточным членом в форме Лагранжа, получаем:

для некоторого θ , 0 < θ < 1. Отсюда находим:

Подставляя сюда найденные выше значения F (1),

ходим первые три члена формулы Тейлора для функции двух переменных:

f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) = f ( x 0 , y 0 ) +

+ ∂ f x ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ∆ x + ∂ f y ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ∆ y +

Функции нескольких переменных

Можно выписать также следующие члены указанной формулы. Ограничиваясь в формуле ( ) случаем n = 1, можно записать сле-

дующий вариант формулы Тейлора для функций двух переменных:

f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) = f ( x 0 , y 0 ) +

+ ∂ f x ( x 0 , y 0 ) ∆ x + ∂ f y ( x 0 , y 0 ) ∆ y +

( x + θ ∆ x , y + θ ∆ y ) ( ∆ x ) 2 + 2

( x + θ ∆ x , y + θ ∆ y ) ∆ x ∆ y +

( x 0 + θ ∆ x , y 0 + θ ∆ y ) ( ∆ y ) 2 ,

Последняя формула имеет место и в случае функций произвольного числа переменных. Предположим, что функция f определена в некоторой

окрестности U точки x 0 n и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные вплоть до второго порядка включительно. Выберем такое ∆ x n , что для любого t [ − 1,1] x 0 + t ∆ x U . Введем в рассмотрение координаты вектора ∆ x :

∆ x = ( ∆ x 1 , ∆ x 2 , , ∆ x n ) .

Тогда имеет место следующее равенство

f ( x 0 + ∆ x ) = f ( x 0 ) + ∑

Функции нескольких переменных

для некоторого θ , 0 < θ < 1.

12. Экстремумы функций нескольких переменных

Определения точки максимума, минимума и экстремума в случае функций нескольких переменных аналогичны случаю функций одной пе-

ременной. Напомним эти определения.

что функция f определена в некоторой окрестнос-

Если существует такая окрестность U 0 U точки a ,

что для всех x U 0

f ( x ) ≤ f ( a ) , говорят, что

функция f имеет в точке a локальный максимум. Если для всех

x ≠ a выполняется неравенство f ( x ) < f ( a ) , говорят, что функция f

в точке a строгий локальный максимум.

Если существует такая окрестность U 0 U точки a ,

что для всех x U 0

f ( x ) ≥ f ( a ) , говорят, что

функция f имеет в точке a локальный минимум. Если для всех

x ≠ a выполняется неравенство f ( x ) > f ( a ), говорят, что функция f

в точке a строгий локальный минимум.

Если функция f имеет в точке a локальный максимум или минимум, говорят, что эта функция имеет в точке a локальный экстремум. Аналогично понятия строгого локального максимума и минимума «объединяются» в понятие строгого локального экстремума.

Дадим сначала необходимое условие существования экстремума. Напомним следующий факт. Предположим, что функция f одной пере-

Функции нескольких переменных

менной имеет в некоторой точке a локальный экстремум. Если эта функция дифференцируема в точке a , то f ′ ( a ) = 0 . Этим свойством мы будем пользоваться в доказательстве следующего утверждения.

Т ЕОРЕМА 12. Предположим, что функция f определена в некоторой

окрестности точки a n и имеет в этой точке локальный экстремум. Если в этой точке функция имеет частные производные первого порядка, то все эти производные равны нулю.

Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Ограничимся случаем функции двух переменных. Предположим, что a = ( a 1 , a 2 ). Рассмотрим функцию g ( x 1 ) = f ( x 1 , a 2 ) одной переменной. Эта функция определена в некоторой окрестности точки a 1 и имеет в точке a 1 локальный экстремум. Кроме того, существует

g ′ ( a 1 ) = ∂ ∂ f x ( a 1 , a 2 ) .

Тогда имеет место равенство g ′ ( a 1 ) = 0 , то есть ∂ ∂ f x ( a 1 , a 2 ) = 0. Аналогично

рассматривается частная производная по второй переменной. Теорема доказана.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ . Точка, в которой все частные производные первого порядка функции f обращаются в ноль, называется стационарной точкой этой функции.

З АМЕЧАНИЕ . Как и в случае функций одной переменной, стационарная точка может не быть точкой экстремума. Например, для функции f ( x , y ) = x 2 − y 2 точка (0,0) является стационарной, f (0,0) = 0 . Однако в любой окрестности рассматриваемой точки функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, для любого ε ≠ 0 имеем: f ( ε ,0) = ε 2 > 0, f (0, ε ) = − ε 2 < 0 . Поверхность z = x 2 − y 2 в окрестности начала координат изображена на следующем рисунке.