08. Задачи на движение по прямой
Задача 1. Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч – скорость второго велосипедиста. Тогда согласно условию км/ч – скорость первого велосипедиста.
Оба велосипедиста проехали км.
Третью колонку таблицы заполняем автоматически, пользуясь формулой :
Время движения первого велосипедиста меньше, чем время движения второго на часа, поэтому
Домножаем обе части равенства на , понимая, при этом, что
К финишу придет первым велосипедист со скоростью , поэтому в ответ отправляем величину (км/ч).
Задача 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Если не знаете как извлечь корень из большого дискриминанта, загляните сюда и сюда.
Задача 3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч – скорость велосипедиста на пути АВ. Тогда согласно условию км/ч – скорость велосипедиста на пути ВА.
Длину пути АВ (ВА) – км.
Третью колонку таблицы заполняем автоматически, пользуясь формулой :
Время движения велосипедиста на пути ВА меньше, чем время движения на пути АВ на часа, поэтому
Откуда вытекает, что (км/ч).
Задача 4. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть км/ч – скорость первого автомобиля. Тогда согласно условию км/ч – скорость второго автомобиля на первой половине пути. При этом весь путь считаем км.
Так как автомобили выехали одновременнно из А и прибыли одновременно в В, то
В условии задачи сказано, что скорость первого автомобиля больше км/ч, поэтому оставляем только вариант
Задача 5. Из двух городов, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны км/ч и км/ч?
Обозначим за ч время нахождения в пути одного автомобиля до встречи с другим.
Тогда один из автомобилий прошел , второй – км.
В сумме эти пути дают км.
Задача 6. Из городов A и B, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через часа на расстоянии км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
Встреча произошла ближе к А. То есть автомобиль, выехавший из А, проехал меньший путь, нежели автомобиль из В.
Итак, скорость движения автомобиля, выехавшего из А, есть км/ч.
Задача 7. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии км от города A. Ответ дайте в км/ч.
Второй автомобиль проехал км со скоростью км/ч, значит он находился в пути часа.
Первый автомобиль находился в пути на часа больше, то есть часов.
Поэтому скорость первого автомобиля, проехавшего км за часов есть км/ч.
Задача 8. Товарный поезд каждую минуту проезжает на метров меньше, чем скорый, и на путь в км тратит времени на часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
Прежде всего, переведем м/мин в км/ч.
м/мин= км/мин= км/ч= км/ч.
Обозначаем за км/ч скорость скорого поезда. Тогда скорость товарного – км/ч.
(«Страшные дискриминанты» мы обсуждали здесь)
Откуда Тогда скорость товарного поезда км/ч.
Задача 9. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через часа следом за ним со скоростью км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Пусть расстояние от A до C – км. Так как скорость мотоциклиста км/ч, то время в пути AC мотоциклиста – . По условию сказано, что автомобиль в пути AC находился на часа больше, поэтому указываем в таблице время нахождения автомобиля в пути AC – часов.
Далее, автомобиль проделывает путь CB, длина которого выражается у нас через , а мотоциклист возвращается обратно, то есть проделывает все тот же путь CA с той же скоростью км/ч за тоже время .
Скорость автомобилиста на пути CB, также как и скорость на пути AC, есть или км/ч.
Поэтому расстояние с этой скоростью он пройдет за время часов.
Время прохождения автомобилистом пути CB равно времени прохождения пути CA мотоциклистом, поэтому
Вычисление корня квадратного из большого числа – смотрите здесь.
Задача 10. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным метрам?
Обозначаем за м/мин скорость второго пешехода и за м – пройденный им путь.
Заметим, км/ч= м/мин.
Задача 11. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью км/ч. Через час после него со скоростью км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через часа минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Обозначим за (км/ч) скорость третьего велосипедиста.
Обозначим за (ч) время, прошедшее от старта третьего велосипедиста до встречи со вторым. За это время третий велосипедист проехал км.
Тогда второй находился в пути до встречи с третьим велосипедистом часов и преодолел путь км.
Далее, первый велосипедист, согласно условию, находился в пути часов до встречи второго и третьего велосипедистов и его путь за это время составил
После этого первый, так же как и третий, проехали еще по и км соответственно.
Нам предстоит решить систему:
Конечно же, второй вариант не подходит, так как скорость третьего велосипедиста явно должна быть больше 12 км/ч, иначе он никого не сможет перегнать.
Задача 12. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо придорожного столба за секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Согласно условию за секунд поезд проходит расстояние, равное своей длине .
Чтобы найти длину поезда , нужно скорость поезда км/ч, умножить на время секунд.
При этом, заметьте, требуется перевод всех данных в один формат.
Задача 13. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна метров, за секунд. Найдите длину поезда в метрах. Видео *
Согласно условию за минут поезд проходит м, где – длина поезда.
Переведем км/ч в м/мин:
Задача 14. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина товарного поезда равна метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно минутам. Ответ дайте в метрах.
Переведем сразу км/ч в м/мин:
За минуты товарный поезд прошел м:
а пассажирский (м).
Согласно условию пассажирский поезд за минуты прошел путь, равный
Задача 15. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина пассажирского поезда равна метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно секундам. Ответ дайте в метрах.
Путь, пройденный скорым поездом:
Путь, пройденный пассажирским поездом:
Пусть – длина товарного поезда, – расстояние между собственными “головой”/”хвостом” каждого из поездов исходного/нового положения (спустя с).