Разбор 2 задания ЕГЭ по информатике

2-е задание: «Таблицы истинности» Уровень сложности — базовый, Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет, Максимальный балл — 1, Примерное время выполнения — 3 минуты.

Проверяемые элементы содержания: Умение строить таблицы истинности и логические схемы

"Игнорирование прямо указанного в условии задания требования, что заполненная таблица истинности не должна содержать одинаковых строк. Это приводит к внешне правдоподобному, но на самом деле неверному решению"

Таблица истинности операции НЕ

Таблица истинности операции И (конъюнкция)

Таблица истинности операции ИЛИ (дизъюнкция)

Таблица истинности операции Импликация (если…, то…)

Таблица истинности операции Эквивалентность (тогда и только тогда, …)

• если нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», импликация, равносильность

• логическое произведение X∙Y∙Z∙… равно 1, т.е. выражение является истинным, только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)
• логическая сумма X+Y+Z+… равна 0, т.е. выражение является ложным только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

О преобразованиях логических операций читайте здесь.

Решение заданий 2 ЕГЭ по информатике

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:

Логическая функция F задается выражением

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F ложна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

Перем.1 Перем.2 Перем.3 Перем.4 F . . . . F 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

Отобразим перебор всех значений использующихся в выражении переменных (всю таблицу истинности). Поскольку в выражении используются 4 переменных, то строк таблицы будет 2 4 =16:

✎ Способ 2. Программирование:Язык python:

print('x y z w') for x in 0, 1: for y in 0, 1: for z in 0, 1: for w in 0, 1: F = (not(x) or y or z) and (x or not(z) or not(w)) if not(F): print(x, y, z, w)

Язык pascalAbc.net:

begin writeln('x':7, 'y':7, 'z':7,'w':7); for var x:=false to true do for var y:=false to true do for var z:=false to true do for var w:=false to true do if not((not x or y or z) and (x or not z or not w)) then writeln(x:7, y:7, z:7,w:7); end.

Ответ:

✎ Способ 3. Логические размышления:

• Внешняя операция выражения — конъюнкция (∧). Во всех указанных строках таблицы истинности функция принимает значение 0 (ложь). Конъюнкция ложна аж в трех случаях, поэтому проверить на ложь очень затруднительно. Тогда как конъюнкция истинна (= 1) только в одном случае: когда все операнды истинны. Т.е. в нашем случае:
• Общая идея дальнейшего решения такова: поскольку внешняя операция — конъюнкция, и результат ее истинен, когда оба сомножителя в скобках будут истинны (=1), то нам необходимо сначала составить все наборы таблицы истинности для обоих сомножителей в скобках. Затем, так как конъюнкция подразумевает пересечение, необходимо сопоставить обе таблицы истинности и выбрать для каждого подходящего набора первого сомножителя подходящий (подходящие) набор (наборы) второго сомножителя. НО! так как у нас в задании известны только наборы для F = 0, то мы сопоставлять будем наборы, которые возвращают ложь. Теперь подробно.
• Разобьём исходное выражение на две части и составим таблицу истинности отдельно для двух частей.
• Для сомножителя (¬x ∨ y ∨ z): xyzрезультат00010011010101111000101111011111
• Получили ложь в одном наборе, так как дизъюнкция (∨) ложна только тогда, когда ложны все операнды.
• Для сомножителя (x ∨ ¬z ∨ ¬w): xzwрезультат00010011010101101001101111011111
• Соответственно, опять получили ложь в одном наборе, когда ложны все операнды.
• Учтем, что нам нужно выбрать и «пересечь» (так как внешняя операция ∧) из всех наборов только те, которые возвращают ложь (так как по заданию известны только строки, где F = 0):

Результат: xwzy

🎦 Видео решения 169 задания К.Полякова (бескомпьютерный вариант):

Миша заполнял таблицу истинности функции:

но успел заполнить лишь фрагмент из трех различных ее строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z:

Перем.1 Перем.2 Перем.3 Перем.4 F . . . . F 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

• Решим задание методом построения полной таблицы истинности.
• Посчитаем общее количество строк в таблице истинности и построим ее:

Результат: ywxz

✎ Способ 2. Программирование:

begin writeln('x':7, 'y':7, 'z':7,'w':7); for var x:=false to true do for var y:=false to true do for var z:=false to true do for var w:=false to true do if not((not z and (x xor y)) <= not(y or w)) then writeln(x:7, y:7, z:7,w:7); end.

Сопоставив их с исходной таблицей, получим результат: ywxz

print ('x y z w') for x in 0,1: for y in 0,1: for z in 0,1: for w in 0,1: F=(not z and not(x==y))<=(not(y or w)) if not F: print (x,y,z,w)

Результат: ywxz

🎦 Доступно видео решения этого задания (бескомпьютерный вариант):

🎦 Видео (решение 2 ЕГЭ в Excel):

Логическая функция F задается выражением

Ниже приведен фрагмент таблицы истинности функции F, содержащей все наборы аргументов, при которых функция F истинна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c, d.

Перем.1 Перем.2 Перем.3 Перем.4 F . . . . F 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1

В ответе запишите буквы в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

Результат: cbad

🎦 (Бескомьютерный вариант) Предлагаем подробный разбор посмотреть на видео:

Логическая функция F задаётся выражением ¬x ∨ y ∨ (¬z ∧ w). На рисунке приведён фрагмент таб. ист-ти функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Перем. 4 F . . . . F 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

✍ Решение:

✎ Логические размышления (бескомпьютерный вариант):

Результат: xzwy

✎ Способ 2. Программирование: Язык pascalABC.NET:

begin writeln('x ','y ','z ','w '); for var x:=false to true do for var y:=false to true do for var z:=false to true do for var w:=false to true do if not(not x or y or(not z and w)) then writeln(x:7,y:7,z:7,w:7); end.

🎦 (бескомпьютерный вариант) Подробное решение данного 2 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:

Логическая функция F задаётся выражением

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w. В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

Перем.1 Перем.2 Перем.3 Перем.4 F . . . . F 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0

Результат: xwzy

🎦 Видеорешение (бескомпьютерный вариант):

Каждое из логических выражений F и G содержит 5 переменных. В табл. истинности для F и G есть ровно 5 одинаковых строк, причем ровно в 4 из них в столбце значений стоит 1.

Сколько строк таблицы истинности для F ∨ G содержит 1 в столбце значений?

✍ Решение:

• Поскольку в каждом из выражений присутствует 5 переменных, то эти 5 переменных порождают таблицу истинности из 32 строк: т.к. каждая из переменных может принимать оно из двух значений (0 или 1), то различных вариантов с пятью переменными будет 2 5 =32, т.е. 32 строки.
• Из этих 32 строк и для F и для G мы знаем наверняка только о 5 строках: 4 из них истинны (=1), а одна ложна (=0).
• Вопрос стоит о количестве строк = 1 для таб. истинности F ∨ G. Данная операция — дизъюнкция, которая ложна только в одном случае — если F = 0 и одновременно G = 0
• В исходных таблицах для F и G мы знаем о существовании только одного 0, т.е. в остальных строках может быть 1. Т.о., и для F и для G в 31 строке могут быть единицы (32-1=31), а лишь в одной — ноль.
• Тогда для F ∨ G только в одном случае будет 0, когда и F = 0 и G = 0: №FGF ∨ G10002011………132……1
• Соответственно, истинными будут все остальные строки:

Результат: 31

Подробное объяснение данного задания смотрите на видео:

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 7 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы.

Каково максимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A ∨ B?

✍ Решение:

• Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2 7 = 128 строк.
• В четырех из них результат равен единице, значит в остальных — 0.
• A ∨ B истинно в том случае, когда либо A = 1 либо B = 1, или и A и B = 1.
• Поскольку А = 1 только в 4 случаях, то чтобы получить максимальное количество единиц в результирующей таблице истинности (для A ∨ B), расположим все единицы т.и. для выражения A так, чтобы они были в строках, где B = 0, и наоборот, все строки, где B = 1, поставим в строки, где A = 0: AB101010100101010100……
• Итого получаем 8 строк.
• Если бы в задании требовалось найти минимальное количество единиц, то мы бы совместили строки со значением = 1, и получили бы значение 4.

Результат: 8

Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 8 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 6 единиц.

Каково максимально возможное число нулей в столбце значений таблицы истинности выражения A ∧ B?

✍ Решение:

• Полная таблица истинности для каждого из выражений A и B состоит из 2 8 = 256 строк.
• В шести из них результат равен единице, значит в остальных — 0.
• A ∧ B ложно в том случае, когда:
• Во всех случаях там где А=1 может стоять B=0, и тогда результат F = 0. Поскольку нам необходимо найти максимально возможное число нулей, то как раз для всех шести А=1 сопоставим B=0, и наоборот, для всех шести возможных B=1 сопоставим A=0ABF100100100100010010010010000………
• Поскольку строк всего 256, то вполне возможно, что все 256 из них возвратят в результате 0

Результат: 256

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0

Каким из приведённых ниже выражений может быть F? 1) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7 2) x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 4) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

✍ Решение:

• В первом внешняя операция (выполняется последней) — конъюнкция. Начнем рассмотрение с нее. Соответственно, проверяем по второй строке таб. ист-ти, там где F = 1, так как в таком случае все аргументы должны быть истинными (см. таб. истинности для конъюнкции).
• Если мы подставим в нее все аргументы выражения, то функция действительно возвращает истину. Т.е. пункт первый подходит:

Результат: 1

Решение 2 задания ГВЭ по информатике смотрите на видео:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5)

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?

✍ Решение:

• Поскольку выражение включает 5 переменных, то таб. ист-ти состоит из 2 5 = 32 строк.
• Внешней операцией (последней) является конъюнкция (логическое умножение), а внутри скобок — дизъюнкция (логическое сложение).
• Обозначим первую скобку за А, а вторую скобку за B. Получим A ∧ B.
• Найдем сколько нулей существует для таб. истинности:

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5 = 0 и x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 = 0.

Результат: 2

Подробное решение задания смотрите в видеоуроке:

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 F 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0

Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x3 не совпадает с F.

✍ Решение:

• Полная таблица истинности будет иметь 2 6 = 64 строк (т.к. 6 переменных).
• 4 из них нам известны: в них x3 два раза не совпадает с F.
• Неизвестных строк:
• В неизвестных x3 может не совпадать с F, кроме того, в двух известных x3 не совпадает с F. Соответственно максимально возможное число строк с несовпадающими x3 и F, будет:

Результат: 62

Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Каким выражением может быть F? 1) x1 ∧ (x2 → x3) ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 2) x1 ∨ (¬x2 → x3) ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 3) ¬x1 ∧ (x2 → ¬x3) ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ x7 4) ¬x1 ∨ (x2 → ¬x3) ∨ x4 ∨ x5 ∨ x6 ∧ x7

✍ Решение:

• Рассмотрим отдельно каждый пункт и найдем последнюю операцию, которая должна быть выполнена (внешнюю).

Результат: 4

В видеоуроке рассмотрено подробное решение 2 задания:

Логическая функция F задается выражением (y → x) ∧ (y → z) ∧ z.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

№ Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 F . . . F 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 3 0 1 0 1 4 0 1 1 1 5 1 0 0 0 6 1 0 1 0 7 1 1 0 0 8 1 1 1 1

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

✍ Решение:

• Сначала необходимо рассмотреть логическую операцию, которую мы будем выполнять в последнюю очередь — это логическое И (конъюнкция) или ∧. То есть внешнюю операцию:
• Конъюнкцию легче рассматривать по тем строкам таб. ист-ти, в которых F = 1, т.е. №3, №4, и №8
• Поскольку для конъюнкции функция истинна только тогда, когда все переменные истинны, то необходимо чтобы отдельно каждая скобка была истинна ((y → x) = 1 и (y → z)=1) и переменная z тоже была истинной (=1)
• Поскольку с выражениями в скобках сложней работать, определим сначала какому столбцу соответствует z. Для этого выберем строку (№3), где F = 1, а в остальных ячейках только одна единица, остальные — нули. №Перем. 1Перем. 2Перем. 3F30101
• Таким образом, делаем вывод, что z находится во втором столбце (отсчет ведем слева): №Перем. 1Перем. 2Перем. 3F_.z.F
• Дальше нам необходимо рассмотреть две скобки, в которых находится операция импликации: (y → x) и (y → z). Обе эти скобки должны возвращать истину (=1). В таб. истинности для импликации, функция возвращает в результате 1 тогда, когда:
• вторая переменная (заключение) равна 1 (первая при этом может быть любой),
• вторая переменная (заключение) равна 0, а первая обязательно должна быть равна тоже 0.
• Рассмотрим скобку (y → x) и строку 4 таблицы: №Перем. 1zПерем. 3F40111
• Для этой строки только y может быть равен 0, т.к. если x = 0, тогда y=1, и скобка в результате возвратит ложь (1 → 0 = 0). Соответственно, y находится в первом столбце. А x значит должен стоять в третьем: yzxF

Результат: yzx

Детальный разбор данного задания 2 ЕГЭ по информатике предлагаем посмотреть в видео: