САМАЯ СЛАБАЯ НЕПОБЕДИМАЯ КОМБИНАЦИЯ В ПОКЕРЕ

В современном варианте покера используется "преферансная" колода из тридцати двух карт. Небольшой ее объем и отсутствие джокеров снижают долю случая и увеличивают возможности логического анализа. Напомним, что каждая из четырех мастей (пика, трефа, бубна, черва) содержит следующие карты:

туз (А) > король (К) > дама (Д) > валет (В)>десятка (10) > девятка (9) > восьмерка (8) > семерка (7) .

Здесь и ниже обозначение a > b означает, что a сильнее b . Масти равноправны, обозначают ся первой буквой наименования, стоящей перед обозначением карты. Например: ПД - дама пик, Т7 - семерка треф, ЧА - туз червей и т. д.

Перечислим все названия и старшинство комбинаций карт, которые встречаются в покере.

Флеш-роял . Это пять карт одной масти, образующие так называемую "плотность". Внутри этого класса существует своя иерархия

( А, К, Д, В, 10 ) > ( К, Д, В, 10, 9 ) > ( Д, В, 10, 9, 8 ) > ( В, 10, 9, 8, 7 ) > ( 10, 9, 8, 7, А ).

Здесь левая - самая сильная комбинация - называется "флеш-роял Ас", а правая, наиболее слабая, - "циклический флеш-роял".

Каре . Это четыре карты одного достоинства, при этом

каре тузов > каре королей >. > каре семерок .

Цвет. Пять карт одной масти, не образующие "плотность". Самая сильная "цветная" комбинация - это ( А, К, Д, В, 9 ).

Фул (три + два) . Три карты одного достоинства + две карты одного достоинства. Например, три короля + две десятки . При сравнении двух фулов сильнее тот, у которого старше тройка.

Тройка . Три карты одного достоинства.

Кент ( стрит ). Пять карт, образующие "плотность", но не одного цвета.

Доппер (два + два). Две пары карт одного достоинства (но не каре!).

Например, две девятки + две семерки. Некоторые из допперов имеют имена собственные. Так, два туза + два короля - "Бетон", а две восьмерки + две семерки - "Песок".

Двойка . Две карты одного достоинства.

Беспарье . Все остальные комбинации.

Между собой комбинации упорядочены следующим образом:

флеш-роял > каре > цвет > фул > тройка > кент > доппер > двойка > беспарье.

Опишем кратко техническую суть игры, например, между двумя участниками X и Y . Она включает в себя два этапа:

1. Раздача и торговля . Сначала игрокам раздается по пять карт (очевидно, в "усеченной" колоде остается на десять карт меньше). После этого игроки поочередно делают денежные ставки. Если ставки уравниваются (первый тур торгов), переходят к следующему этапу.

2. Мена и торговля . Каждый игрок по своему усмотрению может сбросить, не показывая сопернику, не более четырех своих карт и получить взамен столько же новых из "усеченной" колоды. После этого опять начинается поочередное повышение ставок. Если ставки уравниваются (второй тур торгов), карты открываются, и выигрывает тот, у кого сильнее карточная комбинация.

Основная проблема, с которой сталкиваются игроки X и Y , заключается в выяснении, "является ли его карточная комбинация более сильной". Отметим, что каждый игрок располагает знанием о своих сброшенных картах и своих картах на руках (всего не более девяти). Однако этого недостаточно для однозначного решения "основного вопроса", за исключением некоторых случаев. Например, если у игрока на руках "флеш-роял Ас", то ему, очевидно, некого бояться. В этой связи актуальна

Проблема. Какова самая слабая комбинация (с учетом сброшенных карт), с которой можно ничего не бояться?

При решении этой задачи полезно ввести понятие о так называемых проходных картах. Будем называть проходными картами игрока X объединение

сброшенных им карт + карты на руках, которые не участвуют в комбинации.

Данные карты никак не влияют на силу самой комбинации, однако могут доставлять ценную информацию. В частности, если игрок X имеет комбинацию каре королей и среди его проходных карт есть туз, то ему можно не опасаться каре тузов у соперника. В этом случае говорят, что туз игрока X блокирует каре тузов игрока Y . Разумеется, и сама комбинация - носитель полезных сведений о возможности наличия тех или иных комбинаций у соперника. Естествен но назвать полным набором карт игрока X объединение карт его комбинации с набором его проходных карт.

Перечислим карты определенной масти игрока X , которые ограничивают число возможных флеш-роялей (той же масти) у игрока Y :

а) 10 блокирует пять флеш-роялей (то есть все);

б) валет или 9 , каждый в отдельности, блокируют четыре флеш-рояля;

в) дама или 8 , каждая в отдельности, блокируют три флеш-рояля;

г) туз , король или 7 , каждый в отдельности, блокируют два флеш-рояля.

У т в е р ж д е н и е 1. Пусть у игрока X на руках находится каре десяток, а среди проходных карт находятся ( В, Д, К, А ). Тогда у игрока Y всегда оказывается более слабая комбинация.

В самом деле, у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку находятся среди проходных карт X . Кроме того, каждый флеш-роял содержит карту десятку. Поскольку все десятки у игрока X , то у Y не может быть никакой комбинации флеш-роял.

Среди профессиональных игроков в покер бытует мнение, что утверждение 1 и есть правильное решение поставленной выше проблемы*. Однако с эстетической точки зрения представляется возможным усилить утверждение 1, поскольку в его формулировке используются лишь четыре (из пяти!) проходные карты. Покажем, что так действительно и обстоит дело. Назовем набор из четырех или пяти проходных карт "разномастным", если в нем представлены все четыре масти. Ниже используется информация о пяти проходных картах, и соответствующий результат является усилением предыдущего.

У т в е р ж д е н и е 2. Пусть у игрока X на руках находится каре девяток, а ( 10, В, Д, К, А ) - проходные и "разномастные". Тогда у игрока Y оказывается более слабая комбинация.

В самом деле: у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку ( 10, В, Д, К, А ) находятся среди проходных карт. Теперь предположим, что у игрока Y есть комбинация флеш-роял. Поскольку все девятки у игрока X , то у него может быть только "флеш-роял Ас", то есть ( A, К, Д, В , 10 ). Пусть, например, масть этой комбинации пика, тогда у игрока X заведомо не будет следующих пяти карт: П10, ПВ, ПД, ПК, ПА .

Значит, в наборе проходных карт игрока X пиковая масть не представлена. Но это противоречит условию "разномастности". Аналогичным образом устанавливается отсутствие у игрока Y комбинации флеш-роял и в других мастях. Поэтому в данной ситуации игроку X действительно нечего бояться.

Здесь возникает вопрос о возможности усиления данного результата **. Отрицательный ответ на данный вопрос содержится в следующем.

У т в е р ж д е н и е 3. Пусть у игрока X находится комбинация ниже каре девяток . Тогда у игрока Y может оказаться более сильная комбинация при любом наборе проходных карт игрока X.

В самом деле, рассмотрим последовательно возможные варианты покерных комбинаций (более слабых, чем каре девяток ) на руках игрока X .

1) Каре восьмерок или каре семерок . Тогда при пяти проходных картах их явно не хватает, чтобы блокировать шесть более старших каре (от девятки до туза );

2) Цвет (например, пики). Несколько удивительно, что здесь у игрока X существует комбинация, которая в совокупности с четырьмя проходными картами блокирует все флеш-рояли и все каре у игрока Y . Например,

( ПA, ПК, ПД, П8, П7 ) + Т10 + Б10 + ЧВ, Ч9 .

Приведем описание таких уникальных карточных конструкций одного цвета.

Во-первых, чтобы игроку X не бояться ни одного из каре соперника, ему необходимо иметь в полном наборе представителей от всех восьми каре. Следовательно, в полном наборе (из девяти карт) лишь одно "достоинство" встречается дважды (например, 10 ), а остальные представлены в одном экземпляре.

Во-вторых, чтобы игроку X не бояться ни одного из пятнадцати флеш-роялей (пяти в трефе + пяти в бубне + пяти в черве) противника, необходимо иметь во множестве четырех своих проходных карт две десятки, например П10 и Б10 + пара червей, которые совместными усилиями блокируют все червовые флеш-рояли. Отметим, что согласно предыдущему абзацу в этой червовой паре уже не может встречаться карта 10 , поскольку она уже дважды используется в трефе и бубне. Поэтому полный перечень всех девяти "пар убийц " задается списком:

( A, 9 ); ( К, 8 ); ( К, 9 ); ( Д, 7 ); ( Д, 8 ); ( Д, 9 ); ( В, 7 ); ( В, 8 ); ( В, 9 ).

Легко сообразить, что общая конструкция (с точностью до перемены всех цветов) определяется следующим образом. Проходные карты:

Т10 + Б10 + " пара убийц" (черва).

А карточная комбинация - пиковый цвет - задается как разность множеств

< А, К, Д, В, 9, 8, 7 >- " пара убийц" (в пиковом окрасе).

Теперь заметим, что полученная (и обязательная!) пиковая комбинация на руках игрока X всегда меньше следующей (и возможной!) комбинации ( A, К, Д, В, 9) (трефа или бубна) игрока Y .

Разбор средних и низших комбинаций совсем прост, и его проведение предоставляем читателю.

Таким образом, каре девяток с подходящим набором проходных карт оказывается той самой слабейшей комбинацией ***.

В заключение заметим, что математические вопросы можно поставить, анализируя практически любую карточную игру. Так, для игры в "Подкидного дурака" сформулируем и решим следующие задачи:

З а д а ч а 1. Пусть играют двое. Покажите, что за конечное время игра заканчивается.

Р е ш е н и е. Обозначим через 2 n общее число карт, находящихся в игре. Далее будем рассуждать по индукции.

Если n = 1, то через один ход игра, очевидно, заканчивается.

Пусть для 2 . 2 n конечность продолжительности игры установлена. Рассмотрим 2 n + 2. Возможны две ситуации:

а) один игрок все время "ходит", а другой принимает. Поскольку число карт конечно, игра заканчивается за конечное число ходов;

б) если второму игроку удалось отбиться, общее количество карт уменьшается на четное число и, в силу индукции, игра завершится за конечное время.

З а д а ч а 2. Пусть играют трое - X, Y и Z . Может ли игра продолжаться вечно?

Р е ш е н и е. Может. Так, пусть в какой-то момент времени у каждого игрока на руках оказались две карты, а именно:

игрок X имеет П6 и П7 ;

игрок Y имеет Т8 и Т9;

игрок Z имеет Б10 и БВ ; козырь червы.

При таком выборе шести разных карт у игроков нет дополнительной возможности "подкидывать" карты отбивающемуся. Это обстоятельство упрощает анализ игры.

Пусть каждый игрок при своем ходе выступает с карты наибольшего достоинства. В таком случае ни одному из игроков не удается "отбиться", и тогда возникает бесконечный циклический процесс:

X ходит - Y принимает,

затем Z ходит - X принимает,

далее Y ходит - Z принимает, и все повторяется вновь до бесконечности.

См. в номере на ту же тему

Комментарии к статье

▲*"Некоторые это считают психическим заболеванием. Пусть так. Но это - такое заболевание, которое превыше всякого здоровья". (А. А. Зиновьев. Иди на Голгофу).

▲**"Можно назвать и другие, не менее веские доказательства, но это - самое веское". (Медников Б. М., Меншуткин В. В. Журнал общей биологии, 1977).

▲ ***".…так, наверное, анахореты радовались любому соблазну, с которым им предстояло сразиться. (Ана Бландина. Стихотворения, рассказы, эссе)".