Даны координаты вершин пирамиды ABCD, найти

Даны координаты вершин пирамиды А1(6,6,5), А2(4,9,5), А3(4,6,11), А4(6,9,3). Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄. 3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃; 4) площадь грани А₁ А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁ А₂; 7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Воспользуйтесь готовой формулой, то есть просто подставьте координаты вершин [math]A_1,\,A_2[/math] и упростите

Напишите, что получится, тогда продолжим дальше решать.

2) Угол между рёбрами можно определить через скалярное произведение векторов:Координаты вектора равны разности координат начала и конца данного вектора: [math]\overrightarrow\=\[/math] [math]\overrightarrow\=\[/math] Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения данных векторов к их длине. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: [math]\left(\overrightarrow,\overrightarrow\right)=-2\cdot 0+3\cdot 3+0\cdot (-2)=9[/math] Длину вектора с координатами [math]\[/math] ищем по формуле: [math]d=\sqrt[/math] .Получим: [math]|\overrightarrow|=\sqrt=\sqrt[/math] (было найдено в п.1) [math]|\overrightarrow|=\sqrt=\sqrt[/math] Т.о. косинус угла между рёбрами [math]A_1A_2[/math] и [math]A_1A_4[/math] равен: [math]\cos=\frac=\frac=\frac[/math] Откуда искомый угол: [math]\varphi=\arccos\approx 46,19^o[/math]

Спасибо! Затем нужно найти уравнение плоскости, на которой лежит грань А₁ А₂ А₃. Взял произвольную точку на плоскости М(x,y,z). Получается три вектора: А₁ А₂=(-2,3,0), А₁А₃=(-2,0,6), как найти вектор А₁М?

Огромное спасибо, все понятно разложили:) очень благодарен:)

3) Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки [math](x_1;y_1;z_1),(x_2;y_2;z_2),(x_3;y_3;z_3)[/math] имеет вид: [math]\left|\beginx-x_1 & y-y_1 & \ z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & \ z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & \ z_3-z_1\end \right|=0[/math] Тогда уравнение плоскости [math]A_1A_2A_3[/math] : [math]\left|\beginx-6 & y-6& \ z-5\\ 4-6 & 9-6 & \ 5-5\\ 4-6 & 6-6 & \ 11-5\end \right|=0[/math] или [math]\left|\beginx-6 & y-6& \ z-5\\ -2 & 3 & \ 0\\ -2 & 0 & \ 6\end \right|=0[/math] Откуда: [math]18(x-6)+6(y-5)+2(z-6)=0[/math]

[math]9x+3y-z-75=0[/math] Уравнение прямой, проходящей через точки [math](x_1;y_1;z_1),(x_2;y_2;z_2)[/math] имеет вид: [math]\frac=\frac=\frac[/math] Для ребра [math]A_1A_4[/math] получим: [math]\frac=\frac=\frac[/math] или [math]\frac=\frac=\frac[/math] Косинус угла между прямой [math]\frac=\frac=\frac[/math] и плоскостью [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] можно найти по формуле: [math]\cos=\frac[/math] Для найденных плоскости и прямой имеем: [math]\cos=\frac=\frac=\frac\approx 78,26^o[/math] Можно было попробовать через векторное и скалярное произведение, по сути это одно и тоже.

4) Площадь грани находим, по геометрическому свойству векторного произведения векторов: площадь треугольника равна модулю векторного призведения векторов, на которых он построен.Векторное произведение векторов с координатами [math]\[/math] и [math]\[/math] можно найти по формуле: [math][\vec,\vec]=\left|\begin\vec & \vec & \ \vec\\ a_1 & b_1 & \ c_1\\ a_2 & b_2 & \ c_2\end \right|[/math]