Задача 1.1. Товарный поезд идет со скоростью V 1 =36 км/ч. Спустя время = 30 мин с той же станции по тому же направлению вышел экспресс со

1 . Примеры решения задач (части и 3 заданий ЕГЭ) Задача.. Товарный поезд идет со скоростью =36 км/ч. Спустя время = 3 мин с той же станции по тому же направлению вышел экспресс со скоростью =7 км/ч. Через какое время t после выхода товарного поезда и на каком расстоянии s от станции экспресс нагонит товарный поезд? Решение. Направим координатную ось OS с началом в точке отправления поездов вдоль направления движения (рис..7). Координата Рис..7 товарного поезда в тот момент времени t, когда его догнал экспресс, s = t. Координата экспресса, который Рис..8 шел на время меньше, в этот же момент времени s = (t-). Обе эти координата должны быть равны координате места, где экспресс догнал товарный поезд: s =s =s. Приравняв s и s, находим t= / ( - )= ч, s= / ( - )=36 км. Графическое решение представлено на рис..8, где линии и графики движения товарного поезда и экспресса. Точка их пересечения определяет координату s места, где экспресс догонит товарный поезд, и время t, когда это произойдет. Задача.. Товарный поезд длины l =63 м и экспресс длины l = м идут по двум параллельным путям в одном направлении со скоростями =48,6 км/ч и =,6 км/ч соответственно. В течение какого времени экспресс будет обгонять товарный поезд? Решение. В неподвижной системе координат (рис..9) обгон начинается, когда координата начала экспресса и конца товарного поезда одинаковы и равны, например, s. Заканчивается обгон в момент времени, когда одинаковы координата s начала товарного поезда и координата s конца экспресса. Если за начальный момент времени принять начало обгона, то законы движения начала товарного поезда и конца экспресса будут: s =s +l + t, s =s - l + t.приравняв s и s, получим: t=(l +l )/( - )=5 с. Эту задачу можно решить в движущейся вместе с товарным поездом системе отсчета, начало системы координат которой совпадает с началом этого поезда, а направление с направлением его движения (рис..). В этой системе отсчета скорость экспресса = -. Рис.. Закон движения конца экспресса, если за начальный момент времени принять начало обгона, будет иметь вид: s=-(l +l )+ t. В момент завершения обгона конец экспресса окажется в начале нашей системы отсчета. Поэтому его координата s=; следовательно, для этого момента времени: l +l = t, t=(l +l )/( - )=5 с. эксп Задача.3. На наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол, опирается стержень, который может перемещаться только по вертикали благодаря направляющему устройству AB (рис..). С какой скоростью поднимается стержень, если наклонная плоскость движется влево со скоростью U? Решение. В системе координат, изображенной на рис. законы X s A h Y B движения наклонной плоскости и стержня имеют вид x =s=ut, y =, x =, y =h=t. Для любого момента времени y =h=stg, следовательно, =Utg. Используя условие сохранения товарный контакта стержня с наклонной плоскостью (см.п..9), приравняв нормальные Рис.. U A B U Рис.. n Рис..3

2 составляющие скоростей стержня и плоскости (см. рис..3): cos = Usin, сразу получим: =Utg.. Задача.4. Пловец переплывает реку, имеющую ширину h. Под каким углом к направлению течения он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Где он в этом случае окажется и какой путь s проплывет, если скорость течения реки равна U, а скорость пловца относительно воды равна? Решение. Направим ось OX системы координат с началом в месте, где пловец Y входит в воду, вдоль берега по течению, а ось OY перпендикулярно к берегу. Предположим, что скорость пловца h sin составляет с осью OX угол (рис..4). Тогда закон движения пловца в проекциях на оси координат будет иметь вид U X cos x=(u+cos)t, y=(sin)t. Пловец попадет на другой берег, когда y=h. Необходимое для Y Рис..4 этого время t=h/(sin). Оно будет минимальным, когда sin максимален, т.е. (см. рис..5): t min =h/. При имеем x=ut. Поэтому, когда пловец окажется на другом берегу, l=x min =Ut min =Uh/. Длина пройденного пути h U X s l h h U /. L Рис..5 Задача.5. Кольцо сварено из двух полуколец радиуса R, скорости звука в которых c и c. Через какое время встретятся звуковые волны, возбужденные ударом по точке сварки? Решение. Допустим для определенности, что c c. Тогда звуковые волны встретятся в первом полукольце, причем одна волна пройдет расстояние l =c t, а вторая l =R+c (t-r/c ), где t время, через которое волны встретятся, R длина полукольца, R/с время прохождения волной второго полукольца. Т.к. l +l =R длина всего кольца, то c t+r+c (t-r/c )=R, откуда Rc c t. cc Из полученного соотношения видно, что при замене индексов на и на результат не изменится, поэтому, если c c, то результат останется прежним. Задача.6. Человек переплывает реку. Скорость пловца относительно воды,3 м/с, скорость течения воды в реке,4 м/с. Вектор скорости пловца относительно воды направлен перпендикулярно берегу реки. С какой скоростью движется пловец относительно берега? На каком расстоянии от места вхождения в реку он достигнет противоположного берега, если ширина реки м? Решение. Для определения скорости пловца относительно берега необходимо перейти из системы отсчета, связанной с водой, в систему отсчета, связанную с берегом. Выберем систему отсчета, связанную с берегом реки, ось Ox направим вдоль реки, Oy поперек реки. За начало отсчета принимаем точку O вхождения пловца в реку (см. рис.). Вектор скорости пловца относительно воды по условию задачи перпендикулярен вектору скорости воды относительно берега. Поэтому модуль скорости пловца в системе отсчета, связанной с берегом, равен. 9,6 м,5м. Перемещение s пловца относительно берега, равное отрезку В, можно найти по известному значению проекции этого перемещения на ось Оу, равному ширине реки ОА: s y,5 s y s cos s, OB s, OB м м.,3

3 Задача.7. Автомобиль трогается с места и движется прямолинейно с ускорением м/с. После достижения скорости м/с он некоторое время движется равномерно, а затем тормозит до остановки с ускорением,5 м/с. Определите время движения автомобиля от момента начала движения до остановки, если он прошел путь 5 м. Решение. Время t движения автомобиля равно сумме интервалов времени t его движения с ускорением а, времени t равномерного движения и времени t 3 замедленного движения с ускорением а. до остановки: t t. t t3 Найдем значения интервалов времени t и t 3 : a t, м t t 5с, a, м м at3, t3, t3 4с. a,5м Для определения значения интервала времени t ; найдем пройденный автомобилем при равномерном движении путь s : at at ,5 6 s s s s s t s 5м м 4м м 6м. Теперь найдем интервал, времени t : s 6 s t, t, t c 6c. Полное время движения t равно: t 5c 4c 6c 5c. Задача.8. Груз поднимают при помощи двух неподвижных блоков (см. первый рис.). Скорости вытягивания левого и правого тросов одинаковы и равны и, расстояния от груза до блоков одинаковы. Определите скорость и подъема груза в момент, когда угол между тросами равен α. Решение. Скорость и подъема груза можно определить по известному значению проекции этой скорости на направление, совпадающее с тросом. Эта проекция по условию задачи есть скорость движения троса (см. второй рис.): u. cos При решении этой и подобных ей задач не следует допускать типичной ошибки, пытаясь найти вектор и скорости как сумму двух векторов скоростей тросов (см. третий рис.). Результат, получаемый таким способом, принципиально ошибочный. В этом легко убедиться, мысленно сближая блоки (см. четвертый рис.). В этом случае очевидно, что скорость и подъема груза равна, а не. Скорость и груза нельзя находить как сумму векторов скоростей двух тросов, так как скорости u и являются скоростями одной и той же точки. Скорость есть проекция полной скорости и на направление одного троса. Задача.9. При отправлении поезда от первого до второго удара колеса на стыках рельс прошло 5 с, а от второго до третьего 3 с. Считая, что движение поезда началось с первого удара колеса на стыке рельс, определите, было ли это движение равноускоренным?

4 Решение. Обозначим интервал времени между первым и вторым ударами колеса на стыках рельс t, а между вторым и третьим t. Пути s и s, пройденные за интервалы времени t и t, равны, так как одинаковы длины рельс. Если движение поезда было равноускоренным из состояния покоя с ускорением а, то должно выполняться равенство at at at at s s, t, att, t tt t. Решая квадратное уравнение, получаем:. t t t t t Отбрасывая не имеющий физического смысла второй корень уравнения, получаем результат:. t t по условию задачи имеем: t 3 3, t t,6t. t 5 5 Следовательно, движение поезда не было равноускоренным. Задача.. При торможении на прямолинейном горизонтальном участке шоссе скорость автомобиля уменьшилась с 7 км/ч до 8 км/ч за 5 с. Определите путь, пройденный автомобилем за это время, и ускорение движения, если движение было равноускоренным. Решение. Ускорение при прямолинейном равноускоренном движении определяется через изменение скорости, и интервал времени, за который произошло это изменение. Выражая значения скоростей в единицах СИ, получаем: 5м м a, a 3м. t t 5с Найдем пройденный путь s: at 3 5 s t, s 5м м 6,5м. Задача.. Два камня падают один за другим с высоты 45 м, второй начал падать на с позже первого. Постройте график зависимости проекции скорости первого камня на вертикальную ось в системе отсчета, связанной со вторым камнем. Ускорение свободного падения равно м/с. Решение. Выберем за начало отсчета положение камней в начальный момент времени, ось Оу направим вертикально вниз. Определим время падения каждого камня: gt H 45м H, t, t 3с. g м В системе отсчета, связанной со вторым камнем, в промежутке времени от с до с проекция скорости первого камня на ось Оу определяется выражением y gt, так как второй камень в этом промежутке времени покоится. График зависимости проекции скорости первого камня на вертикальную ось в системе отсчета, связанной со вторым камнем, для этого и последующих промежутков времени представлен на рисунке. В промежутке времени от с до 3 с второй камень свободно падает с таким же ускорением, как и первый. Следовательно, проекция скорости первого камня относительно второго не

5 изменяется и равна скорости, достигнутой первым камнем в конце первой секунды падения: g. y В промежутке времени от 3 с до 4 с первый камень лежит на земле, а второй продолжает падать. Следовательно, в системе отсчета, связанной со вторым камнем, проекция скорости первого камня меняет знак и изменяется со временем по закону: y gt. В промежутке времени от 4 с до 6 с проекция скорости первого тела относительно второго равна нулю. Задача.. Тело брошено под углом 6 к горизонту со скоростью 3 м/с. Определите скорость тела через с после начала движения. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало, ускорение свободного падения равно м/с. Решение. Систему отсчета связываем с Землей, начало отсчета системы координат помещаем в точку, из которой тело начало двигаться. Ось Оу направляем вертикально вверх, а ось Ох располагаем так, чтобы вектор скорости лежал в плоскости хоу. В этом случае движение будет происходить в указанной плоскости и для определения положения тела нужно знать лишь две координаты. Движение тела происходит с постоянным ускорением свободного падения g. За начало отсчета времени примем момент бросания тела. Запишем начальные условия: x, y, cos, x y sin, a x, a y g. Проекции скорости на оси координат равны x x a xt, y y a yt. Используя начальные условия, получим: x cos, y sin gt. Отсюда можно определить модуль и направление вектора скорости в любой момент времени t: cos sin gt, x y y sin gt tg, x cos где угол наклона вектора скорости тела к горизонтальной плоскости в момент t. Подставив численные данные, получаем: 5,98 9,5 3,866 м 6,5м, tg,399,,7 o. 5 Задача.3. С высоты 4 м от земной поверхности камень брошен горизонтально со скоростью 5 м/с. Найти центростремительное ускорение камня через две секунды после начала движения. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения примите равным м/с. Решение. При свободном падении с начальной скоростью центростремительное ускорение а возникает в результате действия силы тяжести mg. Следовательно, центростремительное ускорение а является проекцией ускорения g на направление, перпендикулярное вектору скорости, умноженной на единичный орт в этом направлении: a g cos. Угол между вектором a центростремительного ускорения и вектором g ускорения свободного падения равен углу между векторами начальной скорости и скорости в искомый момент

6 времени. Следовательно, угол определяется из уравнения: cos. Для нахождения модуля а центростремительного ускорения необходимо определить модуль скорости камня через с после броска. В любой момент времени свободного падения имеем: g t, Через с после броска скорость камня равна: gt. м 5м. 5 Используя найденное значение скорости камня, получаем: 5м cos,6, a,6м 6м. 5м