Решение задач из ЦТ по математике за 2012 г.

Задача В1. Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а площадь диагонального сечения равна 12, то ее объем равен … .

Решение.

Пусть SABCD – правильная четырехугольная пирамида с вершиной S и основанием ABCD. Четырехугольник ABCD является квадратом, так как пирамида правильная. Треугольник BSD – диагональное сечение пирамиды. SO ― высота пирамиды.

Площадь диагонального сечения можно определить по формуле площади треугольника:

По условию задачи , а .

Сторона квадрата в раз меньше его диагонали (докажите самостоятельно), поэтому

Тогда площадь основания пирамиды:

Объем пирамиды вычисляем по формуле:

Ответ: 24.

Задача В2. Найдите количество всех целых решений неравенства

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

Заметим, что сокращение на x специально не проводилось, так как сначала нужно учесть ОДЗ неравенства: .

Тогда на ОДЗ исходное неравенство равносильно следующему:

Решаем данное неравенство методом интервалов, учитывая ОДЗ.

Тогда решение неравенства имеет вид: .

Выписываем целые решения, входящие в эту область: ― всего 14 решений.

Ответ: 14

Задача В3. Точки A(1;2), B(5;6) и C(8;6) ― вершины трапеции ABCD (AD || BC). Найдите сумму координат точки D, если .

Решение.

Обозначим точки A, B и С на координатной плоскости. Точки B и C лежат на прямой, параллельной оси абсцисс. Так как AD || BC, то и прямая AD должна быть параллельна оси абсцисс, а значит, ордината точки D равна ординате точки. А Пусть абсцисса точки D равна x, то есть координаты точки D(x;2).

Для определения x используем тот факт, что . На основании формулы для расстояния между двумя точками координатной плоскости: получаем:

Из двух полученных значений выбираем x = 9, так как точка D, очевидно, лежит правее точки A.

Таким образом, координаты точки D(9;2). Их сумма равна 11. Это число и нужно записать в ответ.

Ответ: 11

Задача В4. Найдите периметр правильного шестиугольника, меньшая диагональ которого равна .

Решение.

Пусть ABCDEF ― рассматриваемый правильный шестиугольник со сторонами, равными a. ― меньшая диагональ этого шестиугольника. Рассмотрим треугольник ABC. У этого треугольника (как стороны шестиугольника), а угол (докажите самостоятельно).

Применим к этому треугольнику теорему косинусов:

Так как , то получаем:

Тогда периметр шестиугольника

Ответ: 60

Задача В5. Найти произведение корней уравнения .

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

Ответ: -3

Задача В6. Площадь прямоугольника ABCD равна 20. Точки M, N, P, Q – середины его сторон. Найдите площадь четырехугольника, заключенного между прямыми AN, BP, CQ, DM

1. Так как MB || PD и MB = PD, как половины противолежащих сторон прямоугольника, то MBPD ― параллелограмм, а значит BP || MD. Аналогично доказывается, что NA || CQ. Значит, в четырехугольнике RSTU противолежащие стороны параллельны и этот четырехугольник является параллелограммом.

2. Для нахождения площади параллелограмма применим формулу:

, где h ― высота параллелограмма, опущенная на сторону RU.

Таким образом, задача сводится к нахождению h и RU.

3. Найдем высоту h. Заметим, что высота h параллелограмма RST является также и высотой параллелограмма MBPD, поэтому

Площадь параллелограмма MBPD найдем как разность площади прямоугольника ABCD и двух прямоугольных треугольников: AMD и CPB:

Так как ― это площадь прямоугольника ABCD, то

4. Найдем RU.

Стороны угла ADM пересекаются параллельными прямыми AN и QC. Так как AQ = QD, то по теореме Фалеса UD = RU.

Аналогично BS = ST, а так как ST = RU (противолежащие стороны параллелограмма, то BS = RU.

В треугольнике BAS отрезок MR параллелен основанию BS и делит сторону AB пополам. Значит MR ― средняя линия треугольника BAS и .

5. Вычисляем площадь четырехугольника RSTU:

Ответ: 4

Задача В7. Решите уравнение и найдите сумму его корней.

Решение.

Здесь мы разложили на множители квадратные трехчлены в левой и правой частях уравнения (проверьте, что такое разложение действительно справедливо).

Первое уравнение совокупности корней не имеет, так как его дискриминант отрицательный. Второе же уравнение имеет два корня. Сумма этих корней по теореме Виета равна 9.

ЗАМЕЧАНИЯ К ЗАДАЧЕ.

На первый взгляд кажется, что увидеть самостоятельно все необходимые преобразования и замены просто невозможно. На самом же деле все не так страшно. Первое, что бросается в глаза при решении уравнения, – это два квадратных трехчлена в правой и левой частях выражения. У любого школьника уже на подсознательном уровне должно быть заложено: видишь квадратный трехчлен – считай его дискриминант. Обычно, если корень из дискриминанта легко вычисляется, то решение задачи завязано на разложении квадратного трехчлена на множители, что и сделано первым же действием.

Второй шаг решения – это раскрытие скобок и замена. Это преобразование сходу увидеть сложно, если не знать о том, что оно существует, поэтому решайте больше примеров: опыт приходит с количеством.

Ответ: 9.

Задача В8. Найти значение выражения , если .

Решение.

Далее используем формулу:

Так как , то и . Тогда .

Ответ: -6

Задача В9. Найти сумму целых значений x, принадлежащих области определения функции

Решение.

Запишем систему неравенств, задающих область определения указанной функции. Для этого используем свойства логарифма:

Решим последнее неравенство системы.

Изображаем решение неравенства на числовой прямой, используя метод интервалов. На эту же прямую наносим решения остальных неравенств системы.

Записываем область определения функции:

Выпишем целые решения, входящие в область определения:

Сумма этих решений равна -6.

Ответ: -6

Задача В10. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и , вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения , где V ― объем фигуры вращения.

Решение.

Пусть АВС – заданный прямоугольный треугольник, а АС – гипотенуза этого треугольника. Изобразим на чертеже тело, полученное при вращения данного треугольника вокруг оси, содержащей его гипотенузу.

Полученное тело можно разбить на два конуса, в основании которых лежит одна и та же окружность с центром в точке O. Радиус этой окружности OB совпадает с высотой прямоугольного треугольника.

Пусть h ― высота треугольника. Тогда площадь оснований конусов:

Запишем выражение для объема тела:

Таким образом задача свелась к нахождению гипотенузы АС и высоты h треугольника ABC.

Гипотенузу АС найдем с помощью теоремы Пифагора:

Для нахождения высоты h рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и BOC. У этих треугольников угол C общий, поэтому они подобны по двум углам (прямому и углу С).

Из подобия треугольников следует:

Тогда объем тела:

В ответ необходимо записать величину:

Ответ: 84

Задача В11. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой 100 г и 900 г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих растворах стало одинаковым. Найдите, сколько раствора (в граммах) было отлито из каждого раствора.

Решение.

Массовая доля спирта в растворе – это отношения массы только спирта, который содержит раствор к массе всего раствора.

Пусть p ― массовая доля спирта в первом растворе, а q ― во втором. По условию, p = q.

Тогда количество спирта в первом растворе равно 100p, а во тором ― 900.

Пусть ― масса отлитого из каждого раствора. Тогда из первого раствора убрали количество спирта, равное , а из второго ― .

Значит, после перелива в первом растворе содержится количество спирта, равное , а во втором ― .

Массы каждого из раствором остались прежними, так как по условию отлито было одинаковое количество растворов.

Так как после перелива массовые доли спирта в обоих растворах оказались одинаковыми, то

Преобразуем полученное уравнение:

Ответ: 90

Задача В12. Найдите произведение корней уравнения

Решение.

Найдем ОДЗ для корней уравнения. Для этого решим систему неравенств:

Преобразуем исходное уравнение:

Тогда уравнение примет вид:

Полученное уравнение решаем как квадратно относительно t :

Таким образом, рассматриваемое уравнение имеет два корня:

Модуль в записанных выражениях появился при взятии корня от полного квадрата.