Сила лобового сопротивления и реактивная тяга

Можно с уверенностью предположить, что скорости вращатель­ного движения снаряда мало сказываются на величине силы лобо­вого сопротивления и их влиянием можно пренебречь. Тогда вы­ражение для силы лобового сопротивления запишется в виде

где -- площадь поперечного сечения снаряда; Cx — функция лобового сопротивления. Эксперименты показывают, что величина Cx сильно зависит от формы обтекаемого тела и должна быть определена для каждой конкретной формы. Но для тел, близких по форме к современным пулям и снарядам, в довольно широком диапазоне скоростей мож­но найти достаточно постоянный коэффициент пропорционально­сти. Это позволяет для класса наиболее характерных снарядов определить эталонную функцию лобового сопротивления . В этом случае функцию лобового сопротивления для данного типа снарядов можно выразить через эталонную функцию:

где i — коэффициент формы снаряда, определяемый некоторым средним значением для данного диапазона скоростей. Параметр l/d в этой формуле отсутствует, так как он также характеризует форму снаряда. Введение коэффициента формы позволяет произвести дальнейшие упрощения в записи функции сопротивления. Как показывают эксперименты, величина и харак­тер этой функции слабо зависят от калибра снаряда, состояния его поверхности (шероховатости) и, следовательно, от числа Рейнольдса. Кроме того, поскольку функция сопротивления опре­деляется стрельбами, т. е. при вполне определенном среднем зна­чении угла нутации то можно считать значения углов нутации в правой и левой частях равенства (1.6.1) одинаковыми, а имею­щееся различие учесть с помощью коэффициента формы. Таким образом, можно написать

Коэффициент формы в этом случае выступает еще и как функция калибра и среднего угла нутации. Как диапазон скоростей, так и средний угол нутации могут меняться от выстрела к выстрелу в зависимости от начальных параметров траектории. Должен ме­няться вместе с ним и коэффициент формы. Принимая постоянным его среднее значение на основании стрельб при определенных угле бросания и начальной скорости, мы тем самым вносим ошибки во все остальные траектории с другими начальными параметрами. Эти ошибки будут тем больше, чем в большей степени форма сна­ряда, его калибр и характер движения около центра масс отли­чаются от соответствующих характеристик эталонных снарядов, т. е. чем больше коэффициент формы отличается от единицы.

В настоящее время можно встретить таблицы функции к законам Сиаччи, 1930 г. и 1943 г. (см. приложение II), причем последний наиболее приемлем для вычисления траекторий пуль и снарядов современной обтекаемой формы. Для оперенных снаря­дов и ракет определен закон 1958 г.

Итак, коэффициент формы снаряда как коэффициент согласо­вания с опытом является функцией аэродинамической формы сна­ряда, калибра орудия, состояния поверхности (шероховатости) снаряда и характера движения его около центра масс.

При некоторых условиях стрельбы углы нутации могут дости­гать довольно больших значений и в этом случае приходится учи­тывать влияние их на величину функции сопротивления. Разложим значение функции в ряд Тейлора.

Поскольку Cx не должна менять своего знака при изменении знака δ, то в разложе­нии должны участвовать только члены с четными степенями пара­метра. После разложения и нескольких преобразований получим

где Cx0 —значение функции лобового сопротивления при δ = 0; аi — коэффициенты разложения.

В ряде (1.6.2) достаточно ограничиться двумя первыми члена­ми. Коэффициент аi определяется экспериментально, его значение находится в пределах 10—20. Для 7,62-мм винтовочной нули аi =13. Таким образом, при δ = 0,1 рад (5,7°) сила лобового сопро­тивления движению пули возрастает на 13% по сравнению с поле­том при нулевом угле нутации.

Перепишем эту формулу в виде

где — плотность воздуха у Земли согласно параметров стан­дартной атмосферы. По ГОСТ 4401—73 величина gρoc= 1,225 кг/м3, тогда

Где с — баллистический коэффициент снаряда,

Поскольку наиболее употребительна функция зависимость (1.7.1) можно представить в виде

Где Анализируя формулу (1.7.1), замечаем, что все параметры сна­ряда — масса, калибр и особенности формы — объединены в бал­листический коэффициент

который является важнейшей характеристикой снаряда. Два сна­ряда с равными баллистическими коэффициентами испытывают одинаковые ускорения земного тяготения и силы лобового сопро­тивления. Следовательно, при прочих равных условиях траектории таких снарядов будут одинаковыми.

Отрицательное ускорение силы сопротивления тем больше, чем значительнее баллистический коэффициент, следовательно, снаряд с большим значением C будет иметь меньшую дальность полета. Помимо коэффициента формы i баллистический коэффициент зависит еще от «поперечной нагрузки» ( точнее, от ). Чем больше эта нагрузка, тем меньше баллистический коэффи­циент, тем выгоднее снаряд в баллистическом отношении. Увели­чить поперечную нагрузку можно, например, за счет увеличения длины снаряда без изменения калибра. Однако длина снарядов, стабилизированных вращением, ограничена возможностью обеспе­чить устойчивость движения около центра масс. Для вращающих­ся снарядов . Значительно большую длину можно назначить для оперенных снарядов. Определим зависимость баллистического коэффициента от ка­либра орудия. Масса снаряда связана с калибром по формуле

где С q — коэффициент массы. Для калиберных снарядов , т. е. коэффициент массы меняется в довольно узких пределах. Из выражений (1.7.4) и (1.7.3) найдем

т. е. с увеличением калибра баллистический коэффициент умень­шается. В диапазоне изменения диаметров пуль и снарядов d= (5,45 ÷ 400) мм и i43 = 0,8 ÷ 1,5 баллистический коэффициент меняется в пределах C = 0,15 ÷ 10.

Аналогичный вид имеют и выражения для остальных сил и мо­ментов. Можно предположить, что величина нормальной составляющей силы сопротивления воздуха RN также слабо зависит от угловых скоростей вращательного движения и числа Re. Тогда

Из физических соображений следует, что сила RN находится в прямой зависимости от параметра . Преобразуя это выражение так же, как и в случае лобового сопротивления, получим

В отличие от силы лобового сопротивления, величина RN зави­сит не от площади поперечного сечения, а от площади осевого се­чения, характеризуемого произведением dl. Для сверхзвуковых скоростей функцию двух переменных с до­статочной степенью точности можно заменить произведением двух функций:

При разложении функции по степеням δ около значения угла δ = 0 следует учитывать, что при изменении знака угла δ знак силы RN меняется на обратный. Это значит, что в разложении не­обходимо удерживать только члены с нечетными степенями δ.

Рис. 6. Экспериментальная зависимость для винтовочнои пули при малых уг­лах нутации

Ограничиваясь двумя членами ряда, запишем:

Где —функция нормальной силы (рис. 6); a2 — опытный коэффициент, определяемый по резуль­татам стрельб при больших углах нутации. Для винтовочной пули a2 приближённо = -0,35. Значение силы Магнуса зависит прежде всего от скорости вра­щения снаряда относительно полярной оси и угла нутации. По­скольку происхождение этой силы связано с циркулирующим по­током, вызванным трением корпуса вращающегося снаряда о воз­дух, сила Магнуса связана с числом Рейнольдса. Однако при боль­ших числах Рейнольдса, которые характерны для движения сна­ряда в воздухе, силы трения слабо меняются в случае изменения величины Re, поэтому данные, полученные при одних скоростях, можно переносить на другие в довольно большом диапазоне. Та­ким образом, справедлива запись:

Если еще предположить прямую пропорциональность силы Маг­нуса от трех последних безразмерных параметров, то окончательно получим

Коэффициент Кма определен только при малых скоростях и равен 1,4*10E-2. Можно также предположить, что опрокидывающий момент за­висит от параметров причем от второго - прямо пропорционально. Зависимость от угла нутации представим произве­дением на некоторую функцию fM(δ).

Рис. 7. Характерные размеры снаря­да, используемые для вычисления плеча опрокидывающего момента h

Во внешней баллистике вместо полной длины снаряда l вводит­ся плечо аэродинамической силы h, что вызвано стремлением по­лучить одинаковые значения функции опрокидывающего момента различных формах снаряда и одной и той же ско­ рости. Выражение для момента имеет вид

— Функции, подлежащие опытному определению.

Плечо аэродинамической силы для вращающихся снарядов находим по эмпирическим формулам:

Где h1 — расстояние от центра масс (ЦМ) до начала оживальной части (рис. 7); hr — длина оживальной части; V — объем тела; lц — расстояние от дна до центра масс; fд — площадь дна; d — калибр. Первая формула имеет самый простой вид, последняя — наибо­лее полно отражает параметры снаряда и лучше согласует дан­ные эксперимента для разных видов снарядов. Таблицы значений функции составляются для вполне определенного спо­ соба подсчета плеча h, что должно быть оговорено (табл. 2).

Величина h не является постоянной, а зависит от скорости дви­жения снаряда и угла нутации. Влияние скорости учитывается в значении функции а влияние угла нутации — через функцию , вид которой пока не изучен. В исследованиях чаще всего берут линейную зависимость опрокидывающего момента от угла δ или выбирают вид функции fM(δ) так, чтобы уравнения движения снаряда около центра масс сводились к интегрируемым в аналитическом виде. Например:

Где δ = 1,6 (для винтовочной пули). Демпфирующий момент зависит от угловой скорости поворота снаряда и его длины. Предполагая прямую пропорциональную за­висимость от соответствующих факторов, получим

Ориентировочно Момент поверхностного трения зависит в основном от длины снаряда и угловой скорости вращения относительно полярной оси:

Для оценки влияния этого момента на движение снаряда мож­но принять Кг = 2*10E-6. Момент поверхностного трения мал по сравнению с демпфирующим моментом и оба они малы по срав­нению с опрокидывающим моментом, который для вращающихся снарядов является основным аэродинамическим моментом. Для оперенных снарядов демпфирующий момент MD имеет большее значение и может оказать существенное влияние на движение сна­ряда около центра масс.

Пренебрегая малыми второго порядка и разделив обе части ра­венства на dt, получим

Это уравнение было впервые опубликовано в 1897 г. русским ученым И. В. Мещерским. Член представляет собой реактивную силу. Для современных пороховых ракетных двигателей u=1700 ÷ 1900 м/с. Поскольку сила тяжести и аэродинамические силы действуют на ракету так же, как и на снаряд постоянной массы, из сил, входящих под знак суммы в уравнении (1.9.1), вы­делим силы, обусловленные разностью атмосферного давления ра и давления на срезе сопла рс (рис. 8).

Тогда соотношение (1.9.1) примет вид

Где Sc — площадь выходного сечения сопла; ΣRад — сумма аэродинамических сил.

Величину силы, называемой стендовой тягой двигателя, найдем но формуле

Где ue — эффективная скорость истечения,

Для современных пороховых снарядов uе = 1800 ÷ 2100 м/с при давлении рс = 2 ÷ 7 атм. Поскольку наружное давление ра меняет­ся с высотой, то величины uе и P также зависят от высоты. Однако эта зависимость значительно слабее, чем для аэродинамических сил, и мы будем ею пренебрегать.

Реактивные снаряды, так же как и снаряды постоянной массы, могут стабилизироваться вращением. С этой целью ракета снаб­жается n наклонными соплами, расположенными по окружности диаметром d,c (рис. 9).

В этом случае реактивная сила

А реактивный вращающий момент

При решении задачи внешней баллистики значения Р и Мр можно считать постоянными.

Кроме того, вследствие движения струи вдоль корпуса, колеб­лющегося относительно продольной оси, на снаряд оказывает демпфирующее воздействие момент кориолисова ускорения. Од­нако в плотных слоях атмосферы его величина мала по сравнению с аэродинамическим демпфирующим моментом и мы будем им пренебрегать. Большое влияние на полет снаряда оказывает момент от эксцентриситета силы тяги - величины случайной. Этот момент вызывает рассеивание снарядов.

Переменная масса снаряда имеет значение m(t)= m0 - m(t) где m0 - начальная масса снаряда; m - секундный расход массы.

Если полное время горения заряда τ, то масса снаряда в конце горения

Где ω — масса пороховой шашки. Преобразуем выражение для массы снаряда:

Введем новую переменную тогда

При m = const должно быть поэтому

Отношение важная характеристика для проектирования реактивных снарядов. С его ростом увеличивается скорость дви­жения снаряда и дальность его полета, однако снижается отно­сительная масса боевой части. С учетом принятых обозначений формула (1.10.1) примет вид

Отсюда следует, что ускорение силы тяги повышается с увеличе­нием относительной массы заряда и эффективной скорости исте­чения. В выражении (1.7.3) для баллистического коэффициента масса реактивного снаряда будет переменной. С учетом ранее принятых обозначений можем записать

Кроме того, следует учитывать, что истекающие из сопла газы не позволяют образоваться вакууму за донным срезом снаряда и потому для реактивного снаряда донное сопротивление практи­чески отсутствует. Это обстоятельство можно учесть соответствую­щим изменением коэффициента формы.

Полным импульсом реактивной силы называют интегральную характеристику кривой тяги двигателя Р по времени:

где τ — время работы ракетного двигателя. Если тяга двигателя примерно постоянная в течение всего вре­мени его работы, то

Величина полного импульса комплексно характеризует эффек­тивность работы порохового ракетного двигателя с учетом уровня развиваемой им тяги и времени действия ее на снаряд. Важнейшей характеристикой порохового ракетного двигателя принято считать величину, показывающую, какой импульс сооб­щается ракете при сгорании в двигателе 1 кг пороха. Эта величи­на называется единичным импульсом

Выражая массу ω через секундный расход и полное время работы двигателя (ω = mτ) и учитывая соотношение (1.11.1), получим

Далее, с учетом формул (1.10.1) и (1.10.2) имеем

Подставляя это значение в уравнение (1.11.2), окончательно по­лучим

Единичный импульс следует считать основным критерием оцен­ки эффективности ракетного топлива. Поскольку в заданиях чаще всего указывается именно этот импульс, то выразим через него ускорение силы тяги