Часть A. А1 Натуральными Простыми Число 1 не является простым числом. простые Составными Взаимно простые числа А2. А3.

1 Часть A А Натуральными называют числа, используемые при счёте предметов, те. и тд Наименьшее натуральное число Множество натуральных чисел обозначается N Простыми называются натуральные числа, которые нацело, то есть без остатка, делятся только на и на само себя Например. 5, 7. 7, 9 Число не является простым числом Чтобы проверить, является ли число простым, надо попробовать разложить число на множители Например, проверим, является ли число 7 простым Очевидно, что число 7 не делится на,, 5 Тогда имеет смысл проверять, делится ли нацело число 5 на 7, и другие простые числа 7 на 7 не делится, 7 на не делится, 7 на не делится, 7 на 7 не делится, 7 на 9 не делится, 7 на не делится, 7 на 9 не делится, 7 на не делится, 7 на 7 не делится, 7 на не делится, 7 на не делится, 7 на 7 не делится, 7 на 5 не делится, 7 на 59 не делится, 7 на 6 не делится, 7 на 67 не делится Очевидно, что дальше проверять не имеет смысла, тк оставшиеся числа больше, чем половина числа 7 Значит, 7 - простое число Составными называются натуральные числа, которые нацело, то есть без остатка, делятся не только на и на само себя, но и на другие целые числа Например:, 9, Взаимно простые числа это числа, не имеющие общих делителей, кроме Например, числа 6 и 5 взаимно простые, так как не имеют общих делителей, кроме Числа и 5 не являются взаимно простыми, так как, кроме, имеют ещё один общий делитель 7 Ответ: ) А Грань - плоская поверхность предмета, ограниченная его рёбрами У куба 6 граней: ABCD, A B C D, AA D D и так далее Ребро - отрезок, соединяющий две соседние вершины У куба рёбер: AB, АA, АD, ВВ, DD и так далее Вершина - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания У куба 8 вершин: A, B, C, D, A, B, C, D Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани У куба диагонали: AC, BD, CA, DB Ответ: ) А Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой y k, где k и некоторые действительные числа Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел, так как выражение k + имеет смысл при любых значениях х График функции представляет собой прямую линию Число k называют угловым коэффициентом прямой Если k >, то функция возрастающая, если k <, то функция убывающая Пусть одна прямая задана уравнением y = k +, а вторая прямая задана уравнением y = k + Прямые совпадают, если угловые и свободные коэффициенты равны, то есть k = k и = Прямые параллельны, если угловые коэффициенты равны (а значит, равны углы наклона прямых к положительному направлению оси Ох), а свободные коэффициенты различны Прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, а значит, прямые не являются параллельными Решим систему уравнений, которую мы составили, подставив координаты заданных точек

2 (; ) и (-8; -) в общую формулу уравнения прямой y = k + и найдём коэффициенты k и : k Решая эту систему, получаем, что k =, = 6 8k Ответ: ) А,5, 6, :,6,5 6, 6,65,5 6, Ответ: ) А5 Пусть весь раствор - %, тогда, учитывая, что в растворе 5 = 5 (г) соли, составляем пропорцию: г - % 5г - % 5 % 5% Ответ: ) А6 Из точки В восстановим перпендикуляр к прямой ВС Сначала найдём СBD, те х Тк углы ABC и CBD смежные, то их сумма равна 8º Получаем, что х + х = 8º Откуда CBD = = 6º Угол, который мы ищем это КВТ, который состоит из КВС = 9º и СВТ =,5 CBD = 6º : = 8º Итак, КВТ = КВС + СВТ = 9º + 8º = 8º Если бы мы провели перпендикуляр «в другую сторону», то мы бы получили КВТ = 9º - 8º = 7º По условию задачи мы должны указать величину тупого угла Ответ: 5) 5 А7 Найдите радиус основания через длину окружности (l = π r), лежащей в основании: r и высоту через объем конуса (V К = ⅓ S ОСН h = ⅓ π r 5 h) и радиус основания: h 5 Вспомним, что осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник с основанием r и высотой h, равной высоте конуса 768 Тогда площадь осевого сечения есть S rh 5,6 Ответ: ) 5 А8 Начнём с вычисления значения логарифма: lg lg lg 7 Нам осталось сравнить три дроби. Напомним, что для сравнения дробей их приводят к 8 одинаковому знаменателю, а затем достаточно сравнить числители ; ; Очевидно, что Значит, lg Заметим, и без всяких вычислений можно было определить, что дробь больше других, тк это больше половины от единицы, а Ответ: ) 7 и меньше половины 8 А9 Приведем к общему знаменателю 6:

3 ( ) 6 ( ) 5 (7 ) ( ) ( 6) Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на Натуральными являются целые числа, большие В данном случае это числа ; ; ; Их сумма равна Ответ: ) А Каждое число, бóльшее, можно записать в стандартном виде:, где и - натуральное число Ответ: ) А Избавляйтесь от иррациональности (корня) в каждой дроби по отдельности, домножая числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю Вспомним, что выражения а - и а + называются сопряжёнными, а их произведение равно разности квадратов: (а - ) (а + ) = а - ) ) ) ) Закончим действия в скобках ) Последнее действие Ответ: ) А АТ = ТС и DК = КВ - по условию задачи ТК =, AD = - по условию задачи Отрезок ТК принадлежит средней линии трапеции MN Рассмотрим треугольник ABD, в котором отрезок МК является средней линией Тогда МК =, а значит отрезок МТ = 8 см Теперь рассмотрим треугольник ABС в котором отрезок МТ является средней линией, тогда ВС = 6 см Обратите внимание, что длина отрезков МТ и KN одинакова, тк они являются средними линиями в треугольниках с одинаковыми основаниями Ответ: ) А Теорема Виета гласит, что если квадратное уравнение c имеет корни и, то сумма c корней, а произведение корней c Верно и обратное утверждение: если числа и удовлетворяют равенствам и, то эти числа являются корнями квадратного уравнения c

4 Будем решать эту задачу, не находя корни исходного уравнения, хотя решение задачи «в лоб» тоже 5 возможно В данном квадратном уравнении, В искомом квадратном уравнении корнями должны быть числа и, тогда сумма корней, c произведение корней c Преобразуем сумму и произведение c Получаем, что в искомом квадратном уравнении 5,, те оно имеет вид 5 Ответ: ) А Сделаем чертёж Рассмотрим прямоугольный треугольник DA B По теореме Пифагора находим, что DB 5 Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник DС B Найдём высоту, проведённую к основанию Она равна Тогда площадь сечения равна 98 Ответ: ) А5 В числителе дроби четыре слагаемых, поэтому надо попробовать произвести группировку, но предварительно вынесем общий множитель за скобки Получаем У Вас может возникнуть вопрос: «Какие слагаемые группировать»? Не стоит тратить время на поиск ответа - группируйте первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым Если не получится - поменяете пары слагаемых В данном примере: На последнем шаге мы применили формулу разложения разности квадратов В знаменателе проведём разложение на множители квадратного трёхчлена Для этого воспользуемся формулой: c )( ) (не потеряйте коэффициент а!), где и ( - корни уравнения c В данном примере решим квадратное уравнение Корни этого уравнения: ; 5

5 В результате упрощения исходной дроби получаем: Теперь подставляем в полученное выражение и получаем ответ Ответ: 5) Тогда 5 А6 Учтём, что si cs (si cs ) si cs si cs si cs si cs si Преобразуем выражение si cs si х si х Тогда f 5 si cs 5 si х si х Учитывая, что si х, получаем наибольшее значение функции Ответ: ) А7 ОДЗ, как всегда, находим из исходного уравнения: Казалось бы, простое уравнение, но обратите внимание, что lg ( ) lg Если бы мы записали, что lg ( ) lg ( ), то ОДЗ стало бы, а это противоречит условию Поэтому, когда четная степень выносится перед логарифмом, подлогарифмическое выражение должно остаться положительным: Решим уравнение lg ( ) lg ( lg ) ( ) ) не удовлетворяет условию Итак, корни уравнения: ; Ответ: ) lg lg ) 6 9 А 8 Пусть катки встретятся через минут Тогда путь первого катка S 5, а путь второго катка равен сумме первых членов арифметической прогрессии, первый член которой равен,5, разность прогрессии равна,5 Сумма первых членов арифметической прогрессии находится по формуле S, где d d ( ) Тогда S,5 Для второго катка находим S

6 ,5 Получаем уравнение 5 99 Находим = Ответ: ) Часть B ( 5)( ) ( 6) ( ) B Заменим ( ) на ( ) и ( 5) на (5 ) и получим : (5 ) ( 7) Домножим левую и правую часть неравенства на -, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный ( 5)( ) ( 6) ( ) Тогда (5 ) ( 7) Мы добивались, чтобы перед переменной в каждом из множителей был плюс Найдем корни всех множителей, тем самым находим в каких точках левая часть неравенства может поменять знак Наносим все корни на числовую ось, причем все корни знаменателя "выколоты", а корни в числителе "закрашены" в случае нестрогого неравенства (больше или равно, меньше или равно) Если же неравенство строгое (больше или меньше), то корни числителя также выколоты Теперь при всех х, больших 7, каждый из множителей больше нуля Поэтому в правом крайнем интервале знак "+" Затем происходит смена знака, если корень из множителя нечетной степени, и сохранение знака, если корень из множителя четной степени В данном случае: 7 из множителя нечетной степени, поэтому знак "+" меняем на знак "-"; 6 из множителя четной степени знак "-" сохраняем; 5 из множителя нечетной степени меняем знак "-" на знак "+"; из множителя четной степени сохраняем знак "+" и тд Обратите внимание, что число 6 также включается в ответ (все "закрашенные" точки должны быть в ответе) Ответ неравенства: ( ; ] ; 5 (7; ) 5 Сумма всех натуральных чисел, меньших, равна 8 Ответ: 8 B Возведём обе части в квадрат, при этом учтём, что правая часть уравнения неотрицательна ( ) Нельзя сокращать на х, так как это может привести к потере корней Выносим х за скобки.

7 Обратите внимание на правильную организацию записей Экономия на оформлении решения может привести к ошибке Теперь рассмотрим совокупность двух случаев, когда произведение равно нулю: нет решений,, При решении уравнения учтём, что правая часть уравнения неотрицательна х = 9,5 - удовлетворяет условию Осталось 9,5 умножить на в соответствии с условием Ответ: 95 B Введем двойную замену переменных, y y 9 8, y y, y y 8 y 8 y Ответ: 8 B S CMB S ABC, так как у треугольников общее основание СВ, а высоты АН и МН отличаются в раза Проведем из точки Н отрезок НР, параллельный СЕ По теореме Фалеса ЕР = РВ

8 С другой стороны по теореме Фалеса ЕР = АЕ Значит, боковая сторона АВ разбита на три равных отрезка АЕ = ЕР = РВ Рассмотрим треугольники ЕМА и ЕМВ У треугольников общая высота, проведенная из точки М (показывать на чертеже эту высоту не будем, чтобы не загромождать чертеж) Основания треугольников АЕ и ЕВ отличаются в раза: АЕ =,5ЕВ Значит, и площади треугольников отличаются в раза Пусть площадь треугольника АМЕ равна S Тогда S S S, S S S Получаем 6S 86 Тогда Ответ: AME AMD EMB DMC 86 S Площадь искомого четырехугольника равна S, то есть B5 Преобразуем 5 cs cs 5 cs cs cs cs Произведём замену переменных cs t t t, тогда t, а значит cs Теперь важная фишка: если нам достаточно найти количество корней, то можно сократить дальнейшее решение и не находить корни уравнения Нанесём на единичную окружность точки, соответствующие значению косинуса, равного / Обратите внимание, что cs, а не cs ; промежуток от ; до, поэтому расширим Значит, надо сделать оборота вдоль окружности Так как на окружность находится точки, то в уравнении корня Ответ: B6 Пусть х - скорость приятеля, тогда скорость пассажира х, а скорость трамвая 8х Через минуту расстояние между трамваем и приятелем составит 9х Пассажир догоняет приятеля со скоростью Тогда отставание в 9 будет ликвидировано за 9 9 минут Ответ: 9 B7 В таких уравнениях лучше начинать раскрытие модуля изнутри Рассмотрим два случая: ) если, то, ) если, то Каждый из этих случаев, в свою очередь, распадается ещё на два случая

9 б, б Решаем в каждой системе уравнение и проверяем выполнение условий неравенств Корни уравнения Ответ: B8 Пусть в прогрессии со знаменателем количество членов равно Члены прогрессии, стоящие на нечётных номерах, образуют новую геометрическую прогрессию, первый член которой равен, со знаменателем, и количеством членов / Мы знаем, что в общем случае сумма первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле ) ( S, тогда в нашем случае НЕЧЁТ ) ( ) ( S По условию задачи S S НЕЧЁТ, откуда = Кстати, члены прогрессии, стоящие на чётных номерах, тоже образуют геометрическую прогрессию, первый член которой равен, со знаменателем, и количеством членов / Сумма членов этой прогрессии равна ЧЁТ ) ( ) ( S Ответ: B9 При решении неравенства будем использовать обобщённый метод интервалов При решении этим методом действуйте по схеме: Определите ОДЗ Преобразуйте неравенство так, чтобы в правой части был ноль (в левой части, если это возможно, приведите к общему знаменателю, разложите на множители и тп) Найдите все корни числителя и знаменателя и нанесите их на числовую ось, причём, если неравенство нестрогое, закрасьте корни числителя Найдите знаки на каждом из интервалов, подставляя в преобразованное неравенство число из данного интервала НЕЛЬЗЯ РАССТАВЛЯТЬ ЗНАКИ ПО ПРИНЦИПУ ПЛЮС МИНУС ПЛЮС 5 Найдите пересечение ОДЗ и удовлетворяющих неравенству промежутков, при этом не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющих неравенству Преобразуем числитель:

10 Теперь нам предстоит решить неравенство Выражение всегда больше нуля, поэтому решаем неравенство Корень числителя х = -, корень знаменателя х = Наносим эти корни на числовую ось, определяем знаки неравенства на каждом промежутке и получаем, что ответ неравенства [-; ) 7 Тогда сумма целых решений равна - Ответ: - B Через точку А, лежащую на расстоянии r от центра окружности радиуса r, проведена прямая на расстоянии r/ от центра окружности, пересекающая окружность в точках В и С 5 Найдите длину отрезка АВ, если r Для всех секущих, выходящих из данной точки, касания равны произведения длины внешнего отрезка секущей на длину всей секущей АМ АТ АВ АС Тогда r r АВ АС или АВ АС r С другой стороны АC АВ BС, где BС r r решаем квадратное уравнение и получаем 5 Ответ: Получаем AB АB АВ r r Открываем скобки, B Найдите значение выражения: Догадаемся преобразовать cs si 7 si

11 cs si 7 cs si cs si si si si si Ответ si si 6 cs si 7 si cs si si si si cs cs cs si si 5 si si cs si si B Решить неравенство cs lg 6 6 Догадаемся преобразовать условие так: 6 6 В ответе укажите сумму целых решений lg cs Вообще делить или умножать левую и правую часть неравенства на некоторое выражение с переменной можно только в случае, когда это выражение неотрицательно В этом случае знак неравенства не изменяется Если же знак выражения с переменной неизвестен, то ни делить, ни умножать обе части неравенства на выражение с переменной х нельзя В данном случае мы делили обе части неравенства на неотрицательное выражение cs Вспомним одну из основных тригонометрических формул Тогда lg 6 6 tg tg α cs α Теперь оценим обе части неравенства Подлогарифмическое выражение в левой части представляет собой квадратичную функцию, график которой представляет собой параболу с ветвями направленными вниз и вершиной в точке (; ) Тогда наибольшее значение подлогарифмического выражения равно Значит, левая часть неравенства меньше или равна Правая часть неравенства, очевидно больше или равна В точке х = обе части неравенства равны Итак, единственным решением неравенства является число х = Ответ: